Calcule \iiint x y z^{2} d x d y d z, onde W é a caixa retangular dada por W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 0 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 3\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} x\,y\,z^{2}\,dx\,dy\,dz
onde W é o paralelepípedo definido por
0 \le x \le 1,\quad -1 \le y \le 2,\quad 0 \le z \le 3.
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini para separar a integral em produto de integrais unidimensionais, já que os limites são constantes.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iiint_{W} x\,y\,z^{2}\,dx\,dy\,dz =\Bigl(\int_{0}^{1}x\,dx\Bigr) \Bigl(\int_{-1}^{2}y\,dy\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{3}z^{2}\,dz\Bigr).

Passo 3

Calcule a integral em x:
\int_{0}^{1}x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\frac{1^{2}}{2}-0 =\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcule a integral em y:
\int_{-1}^{2}y\,dy =\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{-1}^{2} =\frac{2^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2} =2-\frac{1}{2} =\frac{3}{2}.

Passo 5

Calcule a integral em z:
\int_{0}^{3}z^{2}\,dz =\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{3} =\frac{3^{3}}{3}-0 =9.

Passo 6

Multiplique os três resultados:
\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times 9 =\frac{1\cdot 3\cdot 9}{2\cdot 2} =\frac{27}{4}.

Resposta

\frac{27}{4}.

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