Calcule \iint \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) d x d y, onde D é a região do plano x y limitada pelas retas, y-2 x=2, y+2 x=2, \quad y-2 x=1 e y+2 x=1.

Passo 1

O enunciado pede
Calcular
I=\iint_{D}\cos\!\Bigl(\frac{x - y}{x + y}\Bigr)\,dx\,dy,
onde D é o paralelogramo limitado pelas retas
y - 2x = 2,\quad y - 2x = 1,\quad y + 2x = 2,\quad y + 2x = 1.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplos, e vamos precisar introduzir primeiro variáveis que transformem D num retângulo e depois outras que tornem a integral tratável.

Passo 2

Definimos
u = y - 2x,\qquad v = y + 2x.
Então D vira o retângulo
1 \le u \le 2,\qquad 1 \le v \le 2.
Em função de (u,v),
x = \frac{v - u}{4},\qquad y = \frac{u + v}{2},
e o Jacobiano vale
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix}-\tfrac14 & \tfrac14\\[6pt]\tfrac12 & \tfrac12\end{pmatrix} =-\tfrac14,
logo
dx\,dy = \frac14\,du\,dv.
Além disso
\frac{x-y}{x+y} = \frac{\tfrac{v-u}{4}-\tfrac{u+v}{2}}{\tfrac{v-u}{4}+\tfrac{u+v}{2}} = -\,\frac{3u+v}{\,u+3v\,},
e como \cos é par,
\cos\bigl((x-y)/(x+y)\bigr)=\cos\!\bigl((3u+v)/(u+3v)\bigr).
Assim
I =\int_{u=1}^{2}\!\int_{v=1}^{2} \cos\!\bigl(\tfrac{3u+v}{u+3v}\bigr)\,\frac14\,dv\,du.]

Passo 3

Fazemos agora a segunda troca de variáveis
s = 3\,u + v,\qquad t = u + 3\,v.
O retângulo 1\le u,v\le2 mapeia-se num retângulo em (s,t):
\min s = 3\cdot1+1=4,\quad \max s = 3\cdot2+2=8,
\min t = 1+3\cdot1=4,\quad \max t = 2+3\cdot2=8,
ou seja 4\le s\le8,\;4\le t\le8.
O Jacobiano dessa transformação é
\frac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)} =\det\begin{pmatrix} u_s & u_t\\[3pt] v_s & v_t \end{pmatrix} =\frac1{8},
de onde
du\,dv = \frac1{8}\,ds\,dt,
e já tínhamos dx\,dy=\tfrac14\,du\,dv, logo
dx\,dy = \frac1{32}\,ds\,dt.
Em (s,t) a fração
\tfrac{3u+v}{u+3v} torna-se \tfrac s t.
Portanto
I =\frac1{32} \int_{t=4}^{8}\!\int_{s=4}^{8}\cos\!\bigl(\tfrac s t\bigr)\,ds\,dt.]

Passo 4

Integramos primeiro em s. Para \,t fixo,
\int_{s=4}^{8}\cos\!\bigl(\tfrac s t\bigr)\,ds =t\bigl[\sin\!\bigl(\tfrac s t\bigr)\bigr]_{s=4}^{8} = t\bigl(\sin\tfrac{8}{t}-\sin\tfrac{4}{t}\bigr).
Então
I =\frac1{32} \int_{t=4}^{8} t\bigl(\sin\tfrac{8}{t}-\sin\tfrac{4}{t}\bigr)\,dt.

Passo 5

Cada termo do tipo \displaystyle\int_{4}^{8}t\,\sin(\tfrac{a}{t})\,dt faz-se por substituição w=a/t.
No fim obtém-se uma combinação de integrais da forma \int \frac{\sin w}{w^3}\,dw.
Agrupando tudo, a expressão final pode ser escrita, por exemplo, como
I =2\int_{1}^{2}\frac{\sin w}{w^3}\,dw \;-\;\frac12\int_{\tfrac12}^{1}\frac{\sin w}{w^3}\,dw.
Isto é uma resposta “fechada” em termos de integrais impróprias conhecidas (funções seno-integral).
Numericamente essa quantidade vale aproximadamente
I\approx0{,}13.

Resposta

\boxed{\,I =\frac1{32}\int_{4}^{8}\!t\bigl(\sin\tfrac{8}{t}-\sin\tfrac{4}{t}\bigr)\,dt \;\approx\;0{,}13.}

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