Calcule \iint \cos \left(\frac{x-y}{x+y}\right) d x d y, onde D é a região do plano x y limitada pelas retas, y-2 x=2, y+2 x=2, \quad y-2 x=1 e y+2 x=1.
y - 2x = 2,\quad y - 2x = 1,\quad y + 2x = 2,\quad y + 2x = 1.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplos, e vamos precisar introduzir primeiro variáveis que transformem D num retângulo e depois outras que tornem a integral tratável.
Em (s,t) a fração \tfrac{3u+v}{u+3v} torna-se \tfrac s t.
Portanto
I =\frac1{32} \int_{t=4}^{8}\!\int_{s=4}^{8}\cos\!\bigl(\tfrac s t\bigr)\,ds\,dt.]
Passo 4
Integramos primeiro em s. Para \,t fixo,
\int_{s=4}^{8}\cos\!\bigl(\tfrac s t\bigr)\,ds =t\bigl[\sin\!\bigl(\tfrac s t\bigr)\bigr]_{s=4}^{8} = t\bigl(\sin\tfrac{8}{t}-\sin\tfrac{4}{t}\bigr).
Então
I =\frac1{32} \int_{t=4}^{8} t\bigl(\sin\tfrac{8}{t}-\sin\tfrac{4}{t}\bigr)\,dt.
Passo 5
Cada termo do tipo \displaystyle\int_{4}^{8}t\,\sin(\tfrac{a}{t})\,dt faz-se por substituição w=a/t.
No fim obtém-se uma combinação de integrais da forma \int \frac{\sin w}{w^3}\,dw.
Agrupando tudo, a expressão final pode ser escrita, por exemplo, como
I =2\int_{1}^{2}\frac{\sin w}{w^3}\,dw \;-\;\frac12\int_{\tfrac12}^{1}\frac{\sin w}{w^3}\,dw.
Isto é uma resposta “fechada” em termos de integrais impróprias conhecidas (funções seno-integral).
Numericamente essa quantidade vale aproximadamente