Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
\iiint z d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, z \geq 0\right. e \left.x^{2}+y^{2} \geq 4\right\}\'

Passo 1

O enunciado pede
\iiint_{W} z\,dx\,dy\,dz
onde
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2\le1,\;z\ge0,\;x^2+y^2\ge4\}.
Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas as condições viram
r^2+z^2\le1,\quad z\ge0,\quad r\ge2.
Da primeira condição segue
r\le \sqrt{1-z^2}\le1
para todo z. Mas o terceiro exige r\ge2. Como não existe r que satisfaça simultaneamente
2\le r\le1,
a região W é vazia.

Passo 3

Se W é vazio, então não há nenhum ponto de integração e a integral vale zero.

Resposta

0.

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