A) Utilizando g, calcule \iint\left(x-y+\frac{1}{4}\right) d x d y, onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pela retas u=0, v=0 e u+v=2.
B) Descreva e esboce a região D.
Passo 1
O enunciado define a transformação g:(u,v)\mapsto(x,y) por
x = u+v,\quad y = v - u^{2},
e pede em (A) o valor de
\iint_{D}\Bigl(x - y + \tfrac14\Bigr)\,dx\,dy,
onde D=g(Q) e Q é o triângulo no plano uv limitado por u=0, v=0 e u+v=2. Em (B) é preciso descrever e esboçar D. Usaremos mudança de variáveis e o jacobiano de g.
região limitada acima pela reta y=x, abaixo pela parábola y=-x^{2}, entre x=0 e x=2. No esboço, basta traçar essas duas curvas e sombrear o domínio entre elas.
Resposta
(A) \displaystyle \frac{97}{10}.
(B) D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;-x^{2}\le y\le x\}, isto é, o domínio entre a reta y=x e a parábola y=-x^{2} para 0\le x\le2.