Considere a aplicação g definida pelas equações
x=u+v \text { e } y=v-u^{2}
A) Utilizando g, calcule \iint\left(x-y+\frac{1}{4}\right) d x d y, onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pela retas u=0, v=0 e u+v=2.
B) Descreva e esboce a região D.

Passo 1

O enunciado define a transformação g:(u,v)\mapsto(x,y) por
x = u+v,\quad y = v - u^{2},
e pede em (A) o valor de
\iint_{D}\Bigl(x - y + \tfrac14\Bigr)\,dx\,dy,
onde D=g(Q) e Q é o triângulo no plano uv limitado por u=0, v=0 e u+v=2. Em (B) é preciso descrever e esboçar D. Usaremos mudança de variáveis e o jacobiano de g.

Passo 2

Calculemos o determinante jacobiano
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ -2u & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2u) = 1 + 2u.
Como u \ge 0 em Q, temos \bigl|J\bigr| = 1 + 2u.]

Passo 3

Na integral, o integrando se torna
x - y + \tfrac14 = (u+v) - \bigl(v - u^{2}\bigr) + \tfrac14 = u + u^{2} + \tfrac14.
Logo
\iint_{D}\Bigl(x - y + \tfrac14\Bigr)\,dx\,dy = \iint_{Q}\bigl(u+u^{2}+\tfrac14\bigr)\,(1+2u)\,du\,dv.
Como Q é o triângulo \{0\le u\le2,\;0\le v\le2-u\}, integrando em v primeiro dá fator \int_{0}^{2-u}dv=2-u.

Passo 4

Montamos
\int_{u=0}^{2}\bigl(u^{2}+u+\tfrac14\bigr)(1+2u)\,(2-u)\,du.
Expandindo e integrando de 0 a 2 chega-se a
\frac{97}{10}.

Passo 5

As três arestas de Q vão em uv para:
  • u=0 \Rightarrow x=v,\;y=v, isto é, y=x de (0,0) a (2,2).
  • v=0 \Rightarrow x=u,\;y=-u^{2}, isto é, y=-x^{2} de (0,0) a (2,-4).
  • u+v=2 \Rightarrow x=2,\;y=2-u-u^{2}, uma curva sobre x=2 unindo (2,2) a (2,-4).
Em particular pode-se descrever
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;-x^{2}\le y\le x\bigr\},
região limitada acima pela reta y=x, abaixo pela parábola y=-x^{2}, entre x=0 e x=2. No esboço, basta traçar essas duas curvas e sombrear o domínio entre elas.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{97}{10}.
(B) D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;-x^{2}\le y\le x\}, isto é, o domínio entre a reta y=x e a parábola y=-x^{2} para 0\le x\le2.

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