Exercícios 5, 6, IV.4, pg 171. Calcule: \iiint_{D} x^{2} d x d y d z; sendo S a parte interior do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} limitado pelos planos z=0 e z=c, e D o sólido limitado por y^{2}+z^{2}=8 x e x=6.
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais triplas do mesmo tipo \iiint x^{2}\,dx\,dy\,dz, cada uma em um sólido diferente. As informações dadas são:
Primeiro sólido S: a parte interior do cilindro \;x^{2}+y^{2}=a^{2}\; limitada pelos planos \;z=0\; e \;z=c\;. Ou seja, S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2},\;0\le z\le c\}.
Segundo sólido D: o sólido limitado pela superfície \;y^{2}+z^{2}=8x\; e pelo plano \;x=6\;. Observação: \;y^{2}+z^{2}=8x\; pode ser escrita como \;x=\tfrac{1}{8}(y^{2}+z^{2})\;, que é um paraboloide com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo x. O sólido D é a região entre esse paraboloide e o plano \;x=6\;.
Vou calcular separadamente \displaystyle \iiint_{S} x^{2}\,dV e \displaystyle \iiint_{D} x^{2}\,dV.
Passo 2
Explicando a técnica que vou usar no primeiro problema (e por que): para o sólido S que é um cilindro circular de eixo z, a escolha natural é usar coordenadas cilíndricas padrão. Em coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge0, \theta\in[0,2\pi), z é altura. O elemento de volume (jacobiano) é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Isso economiza trabalho porque a equação x^{2}+y^{2}=a^{2} vira simplesmente r=a.
Passo 3
Montando a integral para S. Como S tem 0\le r\le a, 0\le\theta\le2\pi e 0\le z\le c, e x^{2}=(r\cos\theta)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta, temos:
Portanto o resultado para o primeiro sólido é \displaystyle \frac{\pi a^{4}c}{4}.
Passo 6
Agora o segundo sólido D. Primeiro identifique a geometria e escolha de coordenadas: a superfície
y^{2}+z^{2}=8x
pode ser escrita como
x=\frac{1}{8}(y^{2}+z^{2}).
Para cada valor de x\ge0 a interseção com o plano constante x é um círculo em yz-plano de raio \sqrt{8x}. Isso sugere usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo x: defina
r=\sqrt{y^{2}+z^{2}},\qquad \theta=\text{ângulo no plano }(y,z),â
com
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
e mantenha x como está. O elemento de volume é novamente dV = r\,dr\,d\theta\,dx.
Passo 7
Determine os limites: para o paraboloide x=\tfrac{1}{8}r^{2} e o plano x=6, a região D é
0\le x \le 6,\qquad 0\le r \le \sqrt{8x},\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
(Mais detalhado: o vértice do paraboloide é em x=0, não há parte para x<0; para cada x\in[0,6] o raio máximo em r é \sqrt{8x}.)
Resumo final (já fizemos a verificação do cálculo passo a passo): o primeiro integral deu \tfrac{\pi a^{4}c}{4} e o segundo deu 2592\pi. Boa! Você chegou até aqui — respira, tá feito. Se quiser, posso mostrar um desenho rápido da região do segundo sólido para você fixar a intuição.