Exercícios 5, 6, IV.4, pg 171. Calcule:
\iiint_{D} x^{2} d x d y d z; sendo S a parte interior do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2} limitado pelos planos z=0 e z=c, e D o sólido limitado por y^{2}+z^{2}=8 x e x=6.

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais triplas do mesmo tipo \iiint x^{2}\,dx\,dy\,dz, cada uma em um sólido diferente. As informações dadas são:
  • Primeiro sólido S: a parte interior do cilindro \;x^{2}+y^{2}=a^{2}\; limitada pelos planos \;z=0\; e \;z=c\;. Ou seja, S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2},\;0\le z\le c\}.
  • Segundo sólido D: o sólido limitado pela superfície \;y^{2}+z^{2}=8x\; e pelo plano \;x=6\;. Observação: \;y^{2}+z^{2}=8x\; pode ser escrita como \;x=\tfrac{1}{8}(y^{2}+z^{2})\;, que é um paraboloide com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo x. O sólido D é a região entre esse paraboloide e o plano \;x=6\;.
Vou calcular separadamente \displaystyle \iiint_{S} x^{2}\,dV e \displaystyle \iiint_{D} x^{2}\,dV.

Passo 2

Explicando a técnica que vou usar no primeiro problema (e por que): para o sólido S que é um cilindro circular de eixo z, a escolha natural é usar coordenadas cilíndricas padrão. Em coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge0, \theta\in[0,2\pi), z é altura. O elemento de volume (jacobiano) é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Isso economiza trabalho porque a equação x^{2}+y^{2}=a^{2} vira simplesmente r=a.

Passo 3

Montando a integral para S. Como S tem 0\le r\le a, 0\le\theta\le2\pi e 0\le z\le c, e x^{2}=(r\cos\theta)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta, temos:
\iiint_{S} x^{2}\,dV = \int_{z=0}^{c}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a} \big(r^{2}\cos^{2}\theta\big)\,r\,dr\,d\theta\,dz.
Reescrevendo:
\iiint_{S} x^{2}\,dV = \int_{0}^{c}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Calcule a integral em r e em \theta separadamente (o integrando é produto em variáveis separáveis). Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{a} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
Agora a integral em \theta de \cos^{2}\theta. Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Então
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A segunda integral é zero (pois \cos(2\theta) tem período \pi e soma nula no intervalo 0 a 2\pi), e a primeira é \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.

Passo 5

Combine os resultados e a integral em z. Temos
\iiint_{S} x^{2}\,dV = \int_{0}^{c}\left( \left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{a}r^{3}\,dr\right)\right)dz = \int_{0}^{c} \big(\pi\cdot\tfrac{a^{4}}{4}\big)\,dz.
Integrando em z:
\iiint_{S} x^{2}\,dV = \frac{\pi a^{4}}{4}\int_{0}^{c} 1\,dz = \frac{\pi a^{4}}{4}\,c.
Portanto o resultado para o primeiro sólido é \displaystyle \frac{\pi a^{4}c}{4}.

Passo 6

Agora o segundo sólido D. Primeiro identifique a geometria e escolha de coordenadas: a superfície
y^{2}+z^{2}=8x
pode ser escrita como
x=\frac{1}{8}(y^{2}+z^{2}).
Para cada valor de x\ge0 a interseção com o plano constante x é um círculo em yz-plano de raio \sqrt{8x}. Isso sugere usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo x: defina
r=\sqrt{y^{2}+z^{2}},\qquad \theta=\text{ângulo no plano }(y,z),â
com
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
e mantenha x como está. O elemento de volume é novamente dV = r\,dr\,d\theta\,dx.

Passo 7

Determine os limites: para o paraboloide x=\tfrac{1}{8}r^{2} e o plano x=6, a região D é
0\le x \le 6,\qquad 0\le r \le \sqrt{8x},\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
(Mais detalhado: o vértice do paraboloide é em x=0, não há parte para x<0; para cada x\in[0,6] o raio máximo em r é \sqrt{8x}.)
Assim a integral fica
\iiint_{D} x^{2}\,dV = \int_{x=0}^{6}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{8x}} x^{2}\,r\,dr\,d\theta\,dx.
Note que o integrando não depende de r nem de \theta (apenas de x), o que facilita muito.

Passo 8

Calcule a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{8x}} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{8x}} = \frac{1}{2}\big(\sqrt{8x}\,\big)^{2} = \frac{1}{2}\cdot 8x = 4x.
Em seguida a integral em \theta dá um fator 2\pi. Assim a integral reduz para
\iiint_{D} x^{2}\,dV = \int_{0}^{6} x^{2}\cdot(4x)\cdot(2\pi)\,dx = 8\pi\int_{0}^{6} x^{3}\,dx.

Passo 9

Calcule a integral em x:
\int_{0}^{6} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{6} = \frac{6^{4}}{4} = \frac{1296}{4}=324.
Multiplicando:
\iiint_{D} x^{2}\,dV = 8\pi\cdot 324 = 2592\pi.

Passo 10

Resumo final (já fizemos a verificação do cálculo passo a passo): o primeiro integral deu \tfrac{\pi a^{4}c}{4} e o segundo deu 2592\pi. Boa! Você chegou até aqui — respira, tá feito. Se quiser, posso mostrar um desenho rápido da região do segundo sólido para você fixar a intuição.

Resposta

\displaystyle \iiint_{S} x^{2}\,dV = \frac{\pi a^{4}c}{4}\n
\displaystyle \iiint_{D} x^{2}\,dV = 2592\pi

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