Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, S limitado por x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} e x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2} com 0<a<b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral triple
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
onde a função e o sólido são dados por:
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
e S é a região limitada pelas esferas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2},
com 0<a<b.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Função a integrar: } f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.\\\ &\text{Região }S:\\ \{(x,y,z)\mid a^{2}\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le b^{2}\},\\ \text{um casquinha esférica (shell).}\\\ &\text{Constantes: }0<a<b. \end{aligned}çããé
O que precisamos encontrar: o valor numérico (em termos de a e b) da integral tripla acima.

Passo 2

Observação sobre simetria e escolha de coordenadas (sem resolver ainda). A região S é esfericamente simétrica (depende só da distância à origem). Nessas situações é muito conveniente usar coordenadas esféricas. Definimos as coordenadas esféricas padrão assim:
\begin{aligned} x &= r\sin\theta\cos\varphi,\\\ y &= r\sin\theta\sin\varphi,\\\ z &= r\cos\theta, \end{aligned}
onde as variáveis variam nos intervalos
r\ge0,\quad \theta\in[0,\pi],\quad \varphi\in[0,2\pi].
Aqui r é a distância do ponto à origem, \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \varphi é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Expressão da função na nova coordenada e justificativa do elemento de volume. Em coordenadas esféricas a distância ao origem é simplesmente r, portanto
f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=r.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Breve explicação didática do porquê: um pequeno incremento dr no raio, um pequeno incremento d\theta no ângulo polar produz uma arclength aproximadamente r\,d\theta, e um pequeno incremento d\varphi no azimute produz uma arclength aproximadamente r\sin\theta\,d\varphi. O volume do paralelepípedo curvilíneo é aproximadamente o produto dr\cdot(r\,d\theta)\cdot(r\sin\theta\,d\varphi)=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Montagem da integral em coordenadas esféricas. Substituindo f=r e dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi, o integrando fica r\cdot r^{2}\sin\theta = r^{3}\sin\theta. Os limites de integração para r são de a a b (pois a região é o casquilho entre as esferas de raio a e b), e \theta,\varphi percorrem seus intervalos completos. Assim a integral vira
\iiint_{S} f\,dV = \int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=a}^{b} r^{3}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Separação das integrais (o integrando é produto de função de r por função de \theta e \varphi) e cálculo das integrais angulares. Podemos separar:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\cdot\int_{a}^{b}r^{3}\,dr.
Calculemos as duas integrais angulares:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)-(-1)=2.
Multiplicando as duas dá 2\pi\cdot 2 = 4\pi. Ou seja, as partes angulares somam um fator 4\pi.

Passo 6

Cálculo da integral radial. A integral em r é
\int_{a}^{b} r^{3}\,dr.
A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Portanto
\int_{a}^{b} r^{3}\,dr = \left[\dfrac{r^{4}}{4}\right]_{a}^{b} = \dfrac{b^{4}-a^{4}}{4}.

Passo 7

Combinação dos resultados: multiplicamos o fator angular 4\pi pelo resultado radial \dfrac{b^{4}-a^{4}}{4}. O produto simplifica porque o 4 cancela:
4\pi\cdot \dfrac{b^{4}-a^{4}}{4} = \pi\bigl(b^{4}-a^{4}\bigr).
Respirei fundo e checamos: faz sentido dimensional (a integral tem dimensão de r^{4} vezes uma constante angular) e o resultado é nulo se a=b (caso degenerado), como esperado.

Resposta

\displaystyle \pi\bigl(b^{4}-a^{4}\bigr)

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