Calcule a
para a
e o
dados:
limitado por
e
com
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral triple
onde a função e o sólido são dados por:
e
é a região limitada pelas esferas
com
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que precisamos encontrar: o valor numérico (em termos de
e
) da integral tripla acima.
Passo 2
Observação sobre simetria e escolha de coordenadas (sem resolver ainda). A região
é esfericamente simétrica (depende só da distância à origem). Nessas situações é muito conveniente usar coordenadas esféricas. Definimos as coordenadas esféricas padrão assim:
onde as variáveis variam nos intervalos
Aqui
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
.
Passo 3
Expressão da função na nova coordenada e justificativa do elemento de volume. Em coordenadas esféricas a distância ao origem é simplesmente
, portanto
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Breve explicação didática do porquê: um pequeno incremento
no raio, um pequeno incremento
no ângulo polar produz uma arclength aproximadamente
, e um pequeno incremento
no azimute produz uma arclength aproximadamente
. O volume do paralelepípedo curvilíneo é aproximadamente o produto
.
Passo 4
Montagem da integral em coordenadas esféricas. Substituindo
e
, o integrando fica
. Os limites de integração para
são de
a
(pois a região é o casquilho entre as esferas de raio
e
), e
percorrem seus intervalos completos. Assim a integral vira
Passo 5
Separação das integrais (o integrando é produto de função de
por função de
e
) e cálculo das integrais angulares. Podemos separar:
Calculemos as duas integrais angulares:
Multiplicando as duas dá
. Ou seja, as partes angulares somam um fator
.
Passo 6
Cálculo da integral radial. A integral em
é
A primitiva de
é
. Portanto
Passo 7
Combinação dos resultados: multiplicamos o fator angular
pelo resultado radial
. O produto simplifica porque o
cancela:
Respirei fundo e checamos: faz sentido dimensional (a integral tem dimensão de
vezes uma constante angular) e o resultado é nulo se
(caso degenerado), como esperado.