Descreva e desenhe em O x y z o conjunto dado em coordenadas esféricas:
\rho=2 / \cos \varphi

Passo 1

O enunciado pede: descrever e desenhar, no sistema de coordenadas Oxyz, o conjunto de pontos cuja coordenada esférica satisfaz
\rho=\frac{2}{\cos\varphi}.
Informações dadas e convenções que aparecem no enunciado:
\text{a equação: }\rho=\frac{2}{\cos\varphi}.çã
As variáveis esféricas envolvidas são \rho (distância ao O), \varphi (ângulo entre o raio vetor e o eixo z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy), com os intervalos usuais \rho\ge 0, \varphi\in[0,\pi], \theta\in[0,2\pi).
Nada mais é pedido além de descrever geometricamente o conjunto e indicar como desenhá‑lo em Oxyz.

Passo 2

Vamos lembrar a relação entre coordenadas esféricas e coordenadas cartesianas; é essencial para traduzir a equação dada. Vou escrever e explicar cada fórmula devagarinho:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Explicação das variáveis:
  • \rho é a distância do ponto ao origem O.
  • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, \varphi=0 aponta para +z e \varphi=\pi/2 está no plano xy).
  • \theta é o ângulo no plano xy (como o ângulo polar em coordenadas polares).
    Observação importante (útil para a conversão): a combinação \rho\cos\varphi aparece diretamente nas fórmulas e é exatamente a coordenada z.

Passo 3

Usamos a relação direta \;z=\rho\cos\varphi\;. A equação dada é
\rho=\frac{2}{\cos\varphi}.
Multiplicando ambos os lados por \cos\varphi (e tendo em mente que isso só é válido quando \cos\varphi\neq 0), obtemos a igualdade
\rho\cos\varphi = 2.
Pelo passo anterior sabemos que \rho\cos\varphi=z. Substituindo:
z=2.
Portanto a equação em coordenadas cartesianas é simplesmente z=2.

Passo 4

Verificações e observações sobre domínio e consistência:
  • A fórmula original exige \cos\varphi\neq 0 (pois \cos\varphi=0 tornaria o lado direito infinito). Mas para pontos com z=2 temos z>0, logo \cos\varphi = z/\rho = 2/\rho>0. Assim \cos\varphi>0 e não há contradição: todos os pontos do plano z=2 correspondem a alguma (\rho,\varphi,\theta) com \varphi\in[0,\pi/2) (no caso do ponto (0,0,2) temos \varphi=0,\rho=2).
  • Geometricamente, \{(x,y,z)\mid z=2\} é um plano horizontal (paralelo ao plano xy), localizado a 2 unidades acima da origem. Ele é infinito em extensão nas direções x e y.
  • Relação com coordenadas polares no plano xy: para um ponto do plano z=2 com projeção radial r=\sqrt{x^2+y^2}, a distância ao origem é \rho=\sqrt{r^2+4} e \cos\varphi=2/\rho. Quando r cresce muito, \rho cresce e \varphi aproxima‑se de \pi/2 (por isso, na expressão original, \rho\to\infty quando \varphi\to\pi/2); isso simplesmente reflete que o plano é infinito.

Passo 5

Instruções práticas para desenhar o conjunto em Oxyz (passo a passo para rabiscar rápido na prova):
  1. Desenhe os eixos x, y e z. Faça z vertical e x,y no plano horizontal.
  2. Marque no eixo z o ponto (0,0,2) (duas unidades acima da origem).
  3. Desenhe uma reta (ou um retângulo) horizontal passando por (0,0,2) e paralela ao plano xy; essa superfície horizontal representa o plano z=2. Como é infinito, indique setas ou uma folha inteira sem limites.
  4. Opcional: desenhe alguns pontos do plano, por exemplo (1,0,2), (0,1,2), (-2,3,2), para mostrar que qualquer x,y é permitido.
  5. Anote ao lado: “plano horizontal z=2, normal (0,0,1)”.

Passo 6

Resumo didático curto (para fixar e usar na prova):
  • Sempre que aparecer algo como \rho\cos\varphi, lembre que isso é z.
  • Substituir a equação esférica por uma igualdade em z é uma técnica direta e rápida.
  • Verifique sinais e domínio: aqui a condição \rho\ge 0 e a presença de \cos\varphi exigem \cos\varphi>0, mas isso é automaticamente satisfeito pelos pontos com z=2.

Resposta

z=2

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