Descreva e desenhe em
o conjunto dado em coordenadas esféricas:
Passo 1
O enunciado pede: descrever e desenhar, no sistema de coordenadas
, o conjunto de pontos cuja coordenada esférica satisfaz
Informações dadas e convenções que aparecem no enunciado:
As variáveis esféricas envolvidas são
(distância ao
),
(ângulo entre o raio vetor e o eixo
) e
(ângulo azimutal no plano
), com os intervalos usuais
,
,
.
Nada mais é pedido além de descrever geometricamente o conjunto e indicar como desenhá‑lo em .
Nada mais é pedido além de descrever geometricamente o conjunto e indicar como desenhá‑lo em
Passo 2
Vamos lembrar a relação entre coordenadas esféricas e coordenadas cartesianas; é essencial para traduzir a equação dada. Vou escrever e explicar cada fórmula devagarinho:
Explicação das variáveis:
-
é a distância do ponto ao origem . -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (ou seja, aponta para e está no plano ). -
é o ângulo no plano (como o ângulo polar em coordenadas polares).
Observação importante (útil para a conversão): a combinaçãoaparece diretamente nas fórmulas e é exatamente a coordenada .
Passo 3
Usamos a relação direta
. A equação dada é
Multiplicando ambos os lados por
(e tendo em mente que isso só é válido quando
), obtemos a igualdade
Pelo passo anterior sabemos que
. Substituindo:
Portanto a equação em coordenadas cartesianas é simplesmente
.
Passo 4
Verificações e observações sobre domínio e consistência:
- A fórmula original exige
(pois tornaria o lado direito infinito). Mas para pontos com temos , logo . Assim e não há contradição: todos os pontos do plano correspondem a alguma com (no caso do ponto temos ). - Geometricamente,
é um plano horizontal (paralelo ao plano ), localizado a unidades acima da origem. Ele é infinito em extensão nas direções e . - Relação com coordenadas polares no plano
: para um ponto do plano com projeção radial , a distância ao origem é e . Quando cresce muito, cresce e aproxima‑se de (por isso, na expressão original, quando ); isso simplesmente reflete que o plano é infinito.
Passo 5
Instruções práticas para desenhar o conjunto em
(passo a passo para rabiscar rápido na prova):
- Desenhe os eixos
, e . Faça vertical e no plano horizontal. - Marque no eixo
o ponto (duas unidades acima da origem). - Desenhe uma reta (ou um retângulo) horizontal passando por
e paralela ao plano ; essa superfície horizontal representa o plano . Como é infinito, indique setas ou uma folha inteira sem limites. - Opcional: desenhe alguns pontos do plano, por exemplo
, , , para mostrar que qualquer é permitido. - Anote ao lado: “plano horizontal
, normal ”.
Passo 6
Resumo didático curto (para fixar e usar na prova):
- Sempre que aparecer algo como
, lembre que isso é . - Substituir a equação esférica por uma igualdade em
é uma técnica direta e rápida. - Verifique sinais e domínio: aqui a condição
e a presença de exigem , mas isso é automaticamente satisfeito pelos pontos com .