Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados: f(x, y, z)=x y z, S a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2} que está no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
com f(x,y,z)=x y z e S sendo “a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2} que está no primeiro octante”. Informações importantes dadas:
A função integranda é f(x,y,z)=x y z.
A região S é o subconjunto do sólido \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}\} com x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0 (primeiro octante).
O parâmetro a>0 é o raio da esfera.
Nada mais é pedido além do valor numérico da integral em função de a.
Passo 2
Escolha do método: para integrais sobre regiões esféricas é muito conveniente usar coordenadas esféricas, porque a equação da esfera fica simples (\rho=a) e o elemento de volume se ajusta bem à simetria. Outras opções (retangular ou cilíndricas) seriam possíveis, mas tornam os limites e as contas mais complicados. Vou, portanto, usar coordenadas esféricas.
Passo 3
Definição das coordenadas esféricas e do elemento de volume — mini-aula rápida e intuitiva:
Em coordenadas esféricas, cada ponto é dado por três variáveis \rho, \varphi, \theta comx=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Aqui \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z, variando de 0 a \pi) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy (variando de 0 a 2\pi normalmente).
O elemento de volume não é simplesmente d\rho\,d\varphi\,d\theta: um pequeno paralelepípedo esférico tem dimensões aproximadas d\rho, \rho\,d\varphi e \rho\sin\varphi\,d\theta. O produto dessas dimensões dá o Jacobiano do cambio de variáveis:dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.Essa é a fórmula padrão e muito útil: sempre que trocar para esféricas, multiplica-se por \rho^{2}\sin\varphi.
Passo 4
Determinação dos limites de integração para a região S:
Como S está dentro da esfera de raio a, temos 0\le \rho\le a.
Como S está no primeiro octante, as três coordenadas cartesianas são não-negativas. Em esféricas isso corresponde a:
z\ge 0 implica \varphi entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
x\ge 0 e y\ge 0 implicam \theta entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
Portanto os limites são
Escrevemos x y z em termos de \rho,\varphi,\theta:x y z = (\rho\sin\varphi\cos\theta)(\rho\sin\varphi\sin\theta)(\rho\cos\varphi)=\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi obtemos o integrando total em \rho,\varphi,\theta:x y z\, dV = \rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta \cdot \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta = \rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Passo 6
Escrevendo a integral com os limites obtidos:
\iiint_{S} x y z\, dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{a} \rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Note que o integrando é produto de uma função só de \rho, só de \varphi e só de \theta. Então a integral separa-se em produto de três integrais:
Cálculo da integral em \theta:
Usamos a substituição simples u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta vai de 0 a \pi/2, u vai de 0 a 1. Portanto