Descreva e desenhe em
o conjunto dado em coordenadas esféricas:
Passo 1
O enunciado pede: descrever e desenhar, no sistema de coordenadas cartesianas
, o conjunto de pontos cuja representação esférica satisfaz
Informações dadas e observações imediatas:
- A equação está em coordenadas esféricas, usando as variáveis
, e . - Não há restrição explícita sobre
, então presume-se . - Lembre-se que, por definição usual de coordenadas esféricas,
e .
Passo 2
Vamos lembrar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas (aula rápida e prática):
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo que o raio faz com o eixo (ângulo polar, no eixo ). -
é o ângulo azimutal no plano (como em coordenadas cilíndricas).
As fórmulas de conversão são:
Essas fórmulas são fundamentais porque nos permitem transformar a equação dada em termos de
, que é o que queremos para desenhar em
.
Passo 3
Transformando a equação esférica em uma equação cartesiana:
Partimos de . Multiplico ambos os lados por
(válido porque
é uma variável não negativa):
Partimos de
Agora uso as relações conhecidas:
e
. Substituindo:
Passo 4
Coloco a equação na forma canônica completando o quadrado em
:
Esta é a equação cartesiana de uma esfera de centro
e raio
.
Passo 5
Verificação de consistência com os domínios das coordenadas esféricas:
- Pela equação inicial
e pela condição , temos . - Logo
. Isso significa que, na parametrização esférica desta superfície, só aparecem ângulos polares da região superior (o que faz sentido: a esfera encontrada tem ). - O ponto
ocorre quando , i.e. ; esse caso é o ponto (a origem), que de fato pertence à esfera porque substituindo em dá . - Os extremos: para
temos , o ponto (o polo superior da esfera). Para temos , a origem (ponto de tangência com o plano ).
Passo 6
Interpretação geométrica e desenho (como eu desenharia passo a passo):
- A superfície é a esfera de centro
e raio . - Essa esfera está “colada” ao plano
no ponto : ela é tangente ao plano nesse ponto. - Os pontos extremos em
são (origem) e (polo superior ).
Como desenhar: desenhe o plano, marque a origem . Marque o centro um passo acima no eixo (distância 1). Desenhe uma esfera de raio 1 centrada em ; ela toca o plano apenas em . No traço do desenho, mostre a linha do eixo e os pontos e . Uma vista em perspectiva típica basta para visualizar que é uma bola centrada em apoiada no plano .
Passo 7
Parametrização útil (opcional, mostra como a equação esférica gera a esfera): usando
e
como parâmetros e
,
com
e
. Essa parametrização descreve exatamente a esfera
(cada
gera uma linha de latitude), cobrindo toda a esfera uma única vez com esses limites.
Resposta
Esfera de equação cartesiana
, ou seja, centro
e raio
. A esfera é tangente ao plano
na origem
.