Descreva e desenhe em O x y z o conjunto dado em coordenadas esféricas:
\rho=2 \cos \varphi

Passo 1

O enunciado pede: descrever e desenhar, no sistema de coordenadas cartesianas Oxyz, o conjunto de pontos cuja representação esférica satisfaz
\rho = 2\cos\varphi.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A equação está em coordenadas esféricas, usando as variáveis \rho, \varphi e \theta.
  • Não há restrição explícita sobre \theta, então presume-se \theta\in[0,2\pi).
  • Lembre-se que, por definição usual de coordenadas esféricas, \rho\ge 0 e \varphi\in[0,\pi].

Passo 2

Vamos lembrar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas (aula rápida e prática):
  • \rho é a distância do ponto à origem.
  • \varphi é o ângulo que o raio faz com o eixo z (ângulo polar, 0 no eixo +z).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (como em coordenadas cilíndricas).
    As fórmulas de conversão são:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,
y = \rho\sin\varphi\sin\theta,
z = \rho\cos\varphi.
Essas fórmulas são fundamentais porque nos permitem transformar a equação dada em termos de x,y,z, que é o que queremos para desenhar em Oxyz.

Passo 3

Transformando a equação esférica em uma equação cartesiana:
Partimos de \rho = 2\cos\varphi. Multiplico ambos os lados por \rho (válido porque \rho é uma variável não negativa):
\rho^2 = 2\rho\cos\varphi.
Agora uso as relações conhecidas: \rho^2 = x^2+y^2+z^2 e \rho\cos\varphi = z. Substituindo:
x^2 + y^2 + z^2 = 2z.

Passo 4

Coloco a equação na forma canônica completando o quadrado em z:
x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0.
x^2 + y^2 + (z^2 - 2z + 1) = 1.
x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1.
Esta é a equação cartesiana de uma esfera de centro (0,0,1) e raio 1.

Passo 5

Verificação de consistência com os domínios das coordenadas esféricas:
  • Pela equação inicial \rho = 2\cos\varphi e pela condição \rho\ge 0, temos \cos\varphi \ge 0.
  • Logo \varphi \in [0,\tfrac{\pi}{2}]. Isso significa que, na parametrização esférica desta superfície, só aparecem ângulos polares da região superior (o que faz sentido: a esfera encontrada tem z\ge 0).
  • O ponto \rho=0 ocorre quando \cos\varphi=0, i.e. \varphi=\tfrac{\pi}{2}; esse caso é o ponto (0,0,0) (a origem), que de fato pertence à esfera porque substituindo x=y=z=0 em x^2+y^2+(z-1)^2=1 1=1.
  • Os extremos: para \varphi=0 temos \rho=2, o ponto (0,0,2) (o polo superior da esfera). Para \varphi=\tfrac{\pi}{2} temos \rho=0, a origem (ponto de tangência com o plano xy).

Passo 6

Interpretação geométrica e desenho (como eu desenharia passo a passo):
  • A superfície é a esfera de centro C=(0,0,1) e raio R=1.
  • Essa esfera está “colada” ao plano xy no ponto O=(0,0,0): ela é tangente ao plano xy nesse ponto.
  • Os pontos extremos em z são z_{\min}=0 (origem) e z_{\max}=2 (polo superior (0,0,2)).
    Como desenhar: desenhe o plano xy, marque a origem O. Marque o centro C um passo acima no eixo z (distância 1). Desenhe uma esfera de raio 1 centrada em C; ela toca o plano xy apenas em O. No traço do desenho, mostre a linha do eixo z e os pontos (0,0,0) e (0,0,2). Uma vista em perspectiva típica basta para visualizar que é uma bola centrada em (0,0,1) apoiada no plano xy.

Passo 7

Parametrização útil (opcional, mostra como a equação esférica gera a esfera): usando \varphi e \theta como parâmetros e \rho=2\cos\varphi,
x(\varphi,\theta) = (2\cos\varphi)\sin\varphi\cos\theta,
y(\varphi,\theta) = (2\cos\varphi)\sin\varphi\sin\theta,
z(\varphi,\theta) = (2\cos\varphi)\cos\varphi = 2\cos^2\varphi,
com \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \theta\in[0,2\pi). Essa parametrização descreve exatamente a esfera x^2+y^2+(z-1)^2=1 (cada \theta gera uma linha de latitude), cobrindo toda a esfera uma única vez com esses limites.

Resposta

Esfera de equação cartesiana x^2+y^2+(z-1)^2=1, ou seja, centro (0,0,1) e raio 1. A esfera é tangente ao plano xy na origem (0,0,0).

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