Calcule a
para a
e o
dados:
limitado por
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a função e a região são dadas por:
e
é o sólido limitado por
, por
e pelo plano
.
Informações relevantes que recebemos:
- A função é constante igual a
. - A superfície lateral
é um cilindro vertical de raio . - A superfície
é um paraboloide que cresce com a distância ao eixo . - O plano
é a base inferior do sólido. - A região
portanto é o conjunto de pontos com no disco de raio centrado na origem e com variando entre e .
A pergunta concreta: calcular o valor numérico de
(ou seja, o volume de
).
Passo 2
Interpretando o integral: como
, a integral tripla é simplesmente o volume do sólido
. Quando um sólido é descrito verticalmente entre duas superfícies
e
sobre uma região
no plano
, temos a redução
No nosso caso
e
, e
é o disco
Fazendo a integral em
primeiro obtemos
Explicação didática: integrar em
primeiro é natural porque as superfícies que limitam em
são funções explícitas de
. Assim reduzimos a um integral duplo sobre a região plana
.
Passo 3
Por que usar coordenadas polares (ou cilíndricas) aqui? Motivo prático e conceitual:
- A região
é um disco circular, definida por . Em coordenadas polares esse disco tem descrição simples em termos de e . - A função integranda depende apenas de
, que em coordenadas polares é . Isso simplifica muito a conta.
Transformação para coordenadas polares:
O elemento de área
em coordenadas cartesianas transforma-se em
onde o fator
é o Jacobiano da mudança de variáveis. Intuição do Jacobiano: um pequeno retângulo em
com lados
e
tem área aproximadamente
.
Passo 4
Passando o integral para polares. Sobre
temos
e
. A integranda
vira
e
vira
. Portanto
Passo 5
Calcule a integral interna em
:
Explicação da conta:
. Avaliando em
e
dá
, e multiplicando por
resulta
.
Passo 6
Agora integramos em
:
Portanto o volume do sólido
(e a integral pedida) é
.
Conferência rápida (sanity check): valor positivo e proporcional à área do disco (
) e ao “altura média” dada por
— resultado faz sentido em ordem de grandeza.