Calcule a \iiint_{S} f(x, y, z) d x d y d z para a f e o S dados:
f(x, y, z)=1, S limitado por x^{2}+y^{2}=4, z=2\left(x^{2}+y^{2}\right) e pelo plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
onde a função e a região são dadas por:
f(x,y,z)=1,
e S é o sólido limitado por x^{2}+y^{2}=4, por z=2\left(x^{2}+y^{2}\right) e pelo plano z=0.
Informações relevantes que recebemos:
  • A função é constante igual a 1.
  • A superfície lateral x^{2}+y^{2}=4 é um cilindro vertical de raio 2.
  • A superfície z=2\left(x^{2}+y^{2}\right) é um paraboloide que cresce com a distância ao eixo z.
  • O plano z=0 é a base inferior do sólido.
  • A região S portanto é o conjunto de pontos com (x,y) no disco de raio 2 centrado na origem e com z variando entre 0 e 2(x^{2}+y^{2}).
A pergunta concreta: calcular o valor numérico de \displaystyle \iiint_{S} 1\,dx\,dy\,dz (ou seja, o volume de S).

Passo 2

Interpretando o integral: como f(x,y,z)=1, a integral tripla é simplesmente o volume do sólido S. Quando um sólido é descrito verticalmente entre duas superfícies z=z_{\text{inf}}(x,y) e z=z_{\text{sup}}(x,y) sobre uma região D no plano xy, temos a redução
\iiint_{S} 1\,dx\,dy\,dz = \iint_{D}\Bigl(\int_{z_{\text{inf}}(x,y)}^{z_{\text{sup}}(x,y)} 1\,dz\Bigr)\,dA.
No nosso caso z_{\text{inf}}(x,y)=0 e z_{\text{sup}}(x,y)=2(x^{2}+y^{2}), e D é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
Fazendo a integral em z primeiro obtemos
\iiint_{S} 1\,dV = \iint_{D} 2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA.
Explicação didática: integrar em z primeiro é natural porque as superfícies que limitam em z são funções explícitas de x,y. Assim reduzimos a um integral duplo sobre a região plana D.

Passo 3

Por que usar coordenadas polares (ou cilíndricas) aqui? Motivo prático e conceitual:
  • A região D é um disco circular, definida por x^{2}+y^{2}\le 4. Em coordenadas polares esse disco tem descrição simples em termos de r e \theta.
  • A função integranda depende apenas de x^{2}+y^{2}, que em coordenadas polares é \,r^{2}. Isso simplifica muito a conta.
Transformação para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
O elemento de área dA em coordenadas cartesianas transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta,
onde o fator r é o Jacobiano da mudança de variáveis. Intuição do Jacobiano: um pequeno retângulo em (r,\theta) com lados dr e r\,d\theta tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Passando o integral para polares. Sobre D temos 0\le r\le 2 e 0\le \theta\le 2\pi. A integranda 2(x^{2}+y^{2}) vira 2r^{2} e dA vira r\,dr\,d\theta. Portanto
\iiint_{S} 1\,dV = \iint_{D} 2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 2r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 2r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{2} 2r^{3}\,dr = 2\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = 2\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = 2\cdot\frac{16}{4} = 2\cdot 4 = 8.
Explicação da conta: \int r^{3}dr = r^{4}/4. Avaliando em 0 e 2 16/4=4, e multiplicando por 2 resulta 8.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 8\,d\theta = 8\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = 8\cdot 2\pi = 16\pi.
Portanto o volume do sólido S (e a integral pedida) é 16\pi.
Conferência rápida (sanity check): valor positivo e proporcional à área do disco ( \pi\cdot 2^{2}=4\pi) e ao “altura média” dada por 2r^{2} — resultado faz sentido em ordem de grandeza.

Resposta

16\pi

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