Calcule \iiint_{S} x y z d V, onde S é o sólido limitado pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o plano z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{S} x\,y\,z \,dV
onde S é o sólido limitado pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e pelo plano z=2.
O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas cilíndricas e uso de simetria angular para avaliar a integral.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
O cone z=\sqrt{x^2+y^2} vira z=r e o plano z=2 permanece z=2. Logo a região S é dada por
0\le r\le 2,\quad 0\le \theta\le 2\pi,\quad r\le z\le 2.

Passo 3

O integrando em cilíndricas fica
x\,y\,z = (r\cos\theta)(r\sin\theta)\,z = r^2\cos\theta\sin\theta\,z
e com o jacobiano r obtemos
x\,y\,z\,dV = r^3\cos\theta\sin\theta\,z\,dr\,d\theta\,dz.
Assim a integral é
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{r}^{2} r^3\cos\theta\sin\theta\,z \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Como o fator \cos\theta\sin\theta integra-se sobre 0\le \theta\le 2\pi a zero, ou seja
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0,
todo o triplo integral se anula, independentemente das integrais em r e z.

Resposta

0

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