Seja \mathrm{S}=\left\{(x, y, x) \in \mathbb{R}^{3} \mid \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1\right\}. Calcule \iiint_{S}\left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triplo
\iiint_{S}\bigl(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dx\,dy\,dz
onde
S=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z\le1\bigr\}.
O conteúdo envolve mudança para coordenadas cilíndricas e integração iterada.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z com jacobiano r.
A condição \sqrt{x^2+y^2}\le z\le1 vira
0\le r\le1,\quad r\le z\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Escrevendo o integrando e o jacobiano, o integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{1}\!\int_{z=r}^{1}\bigl(1+r\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{z=r}^{1}(1+r)\,r\,dz=(1+r)\,r\,(1-r).

Passo 4

O integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{0}^{1}r(1+r)(1-r)\,dr =2\pi\int_{0}^{1}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr.
Calculamos
\int_{0}^{1}(r-r^{3})\,dr =\Bigl[\tfrac{1}{2}r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4} =\tfrac{1}{4}.

Resposta

\iiint_{S}\bigl(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dx\,dy\,dz =\frac{\pi}{2}.

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