Calcule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \alpha, onde \vec{F}(x, y)=\left(4 x^{3} y^{3}+2 y, 3 x^{4} y^{2}-3 x\right) e \alpha a fronteira do quadrado de vertices (-2,0),(0,-2),(2,0) e (0,2), orientado no sentido horario. 0.2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\displaystyle \int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha,
onde
\vec F(x,y)=(P,Q)=(4x^3y^3+2y,\;3x^4y^2-3x)
e \alpha é a fronteira do quadrado de vértices (-2,0),(0,-2),(2,0),(0,2) orientado no sentido horário.
O conteúdo aplicado será o Teorema de Green para campos no plano, com atenção ao sinal por ser orientação negativa (horária).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(3x^4y^2-3x) =12x^3y^2-3,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(4x^3y^3+2y) =12x^3y^2+2.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(12x^3y^2-3)-(12x^3y^2+2)=-5.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para orientação contrária (horária),
\int_{\alpha}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-5,
\int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha =-\iint_{D}(-5)\,dA =5\iint_{D}dA.
A região D é um losango com diagonais de comprimento 4 e 4, portanto
\text{Área}(D)=\frac{4\cdot4}{2}=8.Á

Passo 4

Substituindo a área em
\int_{\alpha}\vec F\cdot d\alpha =5\cdot8 =40.

Resposta

40

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