Calcule
sendo
a região entre os planos
e
interna ao cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região entre os dois planos
e
e interna ao cilindro
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As duas superfícies limitantes em
são as duas equações de planos acima. - A projeção de
no plano é o disco
ou seja, um disco de raio
(peguei isso da equação do cilindro).
- O integrando é
.
A tarefa é avaliar a integral tripla sobre a região.
Passo 2
Primeiro vamos escrever as equações dos planos na forma
algo, para ver qual é o limite superior e inferior em
.
A partir de
temos
A segunda equação
pode ser simplificada dividindo por
, obtendo
logo
Portanto os dois planos são paralelos e a região entre eles para um dado
está entre
Note que a espessura vertical (altura) é constante:
Agora vamos usar a ideia de integrar primeiro em
: pela regra de Fubini para integrais em regiões com limites em
dados por funções de
,
Passo 3
Calculo da integral interna em
. Como
não depende de
, temos
Usando a altura
,
Passo 4
Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla sobre o disco
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Calculamos cada uma delas.
Passo 5
Cálculo de
.
O disco é simétrico em relação ao eixo
: para cada ponto
também está
. A função
é ímpar em
, então as contribuições se cancelam. Logo
O disco
Se preferir ver por coordenadas polares: em polares
e
, então
pois
.
Passo 6
Cálculo de
.
Isto é simplesmente vezes a área de
. A área do disco de raio
é
. Portanto
Isto é simplesmente
(Alternativamente, em polares:
.)
Passo 7
Agora juntamos os resultados:
Multiplicando pelo fator
que apareceu ao integrar em
,