Calcule
\iiint_{W} x+2 d V sendo W a região entre os planos 2 x+y+z=6 e 6 x+3 y+3 z=12 interna ao cilindro x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} (x+2)\,dV
onde W é a região entre os dois planos
2x+y+z=6
e
6x+3y+3z=12
e interna ao cilindro
x^{2}+y^{2}=16.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As duas superfícies limitantes em z são as duas equações de planos acima.
  • A projeção de W no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 16\},
ou seja, um disco de raio 4 (peguei isso da equação do cilindro).
  • O integrando é x+2.
    A tarefa é avaliar a integral tripla sobre a região W.

Passo 2

Primeiro vamos escrever as equações dos planos na forma z= algo, para ver qual é o limite superior e inferior em z.
A partir de 2x+y+z=6 temos
z = 6-2x-y.
A segunda equação 6x+3y+3z=12 pode ser simplificada dividindo por 3, obtendo
2x+y+z=4,
logo
z = 4-2x-y.
Portanto os dois planos são paralelos e a região entre eles para um dado (x,y) está entre
z_{\text{inf}}=4-2x-y \qquad\text{e}\qquad z_{\text{sup}}=6-2x-y.
Note que a espessura vertical (altura) é constante:
z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}=(6-2x-y)-(4-2x-y)=2.
Agora vamos usar a ideia de integrar primeiro em z: pela regra de Fubini para integrais em regiões com limites em z dados por funções de x,y,
\iiint_{W} (x+2)\,dV = \iint_{D}\left(\int_{z_{\text{inf}}}^{z_{\text{sup}}} (x+2)\,dz\right)dA.

Passo 3

Calculo da integral interna em z. Como x+2 não depende de z, temos
\int_{z_{\text{inf}}}^{z_{\text{sup}}} (x+2)\,dz = (x+2)\bigl(z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}\bigr).
Usando a altura z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}=2,
\int_{4-2x-y}^{6-2x-y} (x+2)\,dz = (x+2)\cdot 2 = 2(x+2).

Passo 4

Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla sobre o disco D:
\iiint_{W} (x+2)\,dV = \iint_{D} 2(x+2)\,dA = 2\iint_{D} (x+2)\,dA.
Vamos separar essa integral em duas partes:
\iint_{D} (x+2)\,dA = \iint_{D} x\,dA + \iint_{D} 2\,dA.
Calculamos cada uma delas.

Passo 5

Cálculo de \iint_{D} x\,dA.
O disco D é simétrico em relação ao eixo y: para cada ponto (x,y)\in D também está (-x,y)\in D. A função x é ímpar em x, então as contribuições se cancelam. Logo
\iint_{D} x\,dA = 0.
Se preferir ver por coordenadas polares: em polares x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta, então
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} r\cos\theta \cdot r\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{4} r^{2}\,dr\right)=0,
pois \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0.

Passo 6

Cálculo de \iint_{D} 2\,dA.
Isto é simplesmente 2 vezes a área de D. A área do disco de raio 4 é \pi\cdot 4^{2}=16\pi. Portanto
\iint_{D} 2\,dA = 2\cdot\text{Area}(D) = 2\cdot 16\pi = 32\pi.
(Alternativamente, em polares: \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} 2\,r\,dr\,d\theta = 32\pi.)

Passo 7

Agora juntamos os resultados:
\iint_{D} (x+2)\,dA = 0 + 32\pi = 32\pi.
Multiplicando pelo fator 2 que apareceu ao integrar em z,
\iiint_{W} (x+2)\,dV = 2\cdot 32\pi = 64\pi.

Resposta

64\pi

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