Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o limite
onde foi dada a função
. As informações relevantes são:
, a variável de diferença é
e o limite é quando
tende a
. Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Interpretação do que esse limite representa e definição que vamos usar. Esse limite é exatamente a definição de derivada de
no ponto
: a derivada
é
quando esse limite existir. Então calcular o limite pedido é o mesmo que calcular a derivada de
em
.
Passo 3
Faço uma manipulação algébrica simples no quociente para deixar o limite mais fácil de avaliar. Substituo
por
e fatoro
:
Como
, então
Essa fatoração é muito útil porque separa a parte que depende de
(o fator
) da parte que depende só de
(o quociente
).
Passo 4
Agora aplico o limite quando
. Usando a expressão obtida:
Como
não depende de
, posso tirá-lo da operação de limite:
Portanto tudo se resume a calcular
Passo 5
Justifico por que
. Uma maneira direta e clássica é usar a série de Taylor (série de potências) da função exponencial em torno de
. A série diz que, para todo
,
e essa série converge para
para todo
. Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Quando
, todos os termos com fator
vão para zero, logo a soma tende a
. Portanto
(Se preferir outra justificativa: essa igualdade também pode ser obtida por defnição da exponencial como solução de uma equação diferencial ou por limites que definem
; a série é a forma mais direta e rigorosa para ver que a razão tende a
.)
Passo 6
Volto à expressão do Passo 4 e substituo o limite que acabei de calcular:
Pronto: o limite existe para todo
real e vale
.
Passo 7
Interpretação final e um exemplo rápido para fixar. O resultado significa que a derivada da função exponencial é a própria função exponencial: a inclinação da curva
em qualquer ponto
é exatamente
. Por exemplo, em
a derivada é
, ou seja,
o que confirma o cálculo anterior para o caso particular
.