Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=e^{x};

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde foi dada a função f(x)=e^{x}. As informações relevantes são:
\;f(x)=e^{x}, a variável de diferença é h e o limite é quando h tende a 0. Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Interpretação do que esse limite representa e definição que vamos usar. Esse limite é exatamente a definição de derivada de f no ponto x: a derivada f'(x) é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existir. Então calcular o limite pedido é o mesmo que calcular a derivada de f(x)=e^{x} em x.

Passo 3

Faço uma manipulação algébrica simples no quociente para deixar o limite mais fácil de avaliar. Substituo f por e^{(\cdot)} e fatoro e^{x}:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}.
Como e^{x+h}=e^{x}e^{h}, então
\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}=e^{x}\cdot\frac{e^{h}-1}{h}.
Essa fatoração é muito útil porque separa a parte que depende de x (o fator e^{x}) da parte que depende só de h (o quociente \frac{e^{h}-1}{h}).

Passo 4

Agora aplico o limite quando h\to 0. Usando a expressão obtida:
\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=\lim_{h\to 0}\left(e^{x}\cdot\frac{e^{h}-1}{h}\right).
Como e^{x} não depende de h, posso tirá-lo da operação de limite:
\lim_{h\to 0}\left(e^{x}\cdot\frac{e^{h}-1}{h}\right)=e^{x}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Portanto tudo se resume a calcular
\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}.

Passo 5

Justifico por que \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1. Uma maneira direta e clássica é usar a série de Taylor (série de potências) da função exponencial em torno de 0. A série diz que, para todo h,
e^{h}=1+h+\frac{h^{2}}{2!}+\frac{h^{3}}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{h^{n}}{n!},
e essa série converge para e^{h} para todo h. Subtraindo 1 e dividindo por h obtemos
\frac{e^{h}-1}{h}=1+\frac{h}{2!}+\frac{h^{2}}{3!}+\cdots.
Quando h\to 0, todos os termos com fator h, h^{2},\dots vão para zero, logo a soma tende a 1. Portanto
\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.
(Se preferir outra justificativa: essa igualdade também pode ser obtida por defnição da exponencial como solução de uma equação diferencial ou por limites que definem e; a série é a forma mais direta e rigorosa para ver que a razão tende a 1.)

Passo 6

Volto à expressão do Passo 4 e substituo o limite que acabei de calcular:
\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}=e^{x}\cdot 1=e^{x}.
Pronto: o limite existe para todo x real e vale e^{x}.

Passo 7

Interpretação final e um exemplo rápido para fixar. O resultado significa que a derivada da função exponencial é a própria função exponencial: a inclinação da curva y=e^{x} em qualquer ponto x é exatamente e^{x}. Por exemplo, em x=0 a derivada é e^{0}=1, ou seja,
\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^{0}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=1,
o que confirma o cálculo anterior para o caso particular x=0.

Resposta

e^{x}

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