Calcule
\iiint_{W} x^{2} d V sendo W a região limitada por y=x^{2}+z^{2}-4 e y=8-5 x^{2}-5 z^{2} com x \leqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{W} x^{2}\,dV
onde W é a região limitada pelas superfícies
y = x^{2}+z^{2}-4
e
y = 8-5x^{2}-5z^{2},
com a condição adicional x\leqslant 0.
Informações relevantes dadas:
  • Duas superfícies que limitam W no sentido de y: uma "para cima" e outra "para baixo".
  • A região é a porção entre essas superfícies.
  • Existe a restrição x\leqslant 0 (apenas a metade esquerda em relação ao plano xz).
  • Precisamos integrar x^{2} sobre todo o volume W.
]

Passo 2

Encontrar a curva de interseção das duas superfícies: igualamos as expressões de y:
x^{2}+z^{2}-4 = 8-5x^{2}-5z^{2}.
Passo a passo: somo 5x^{2}+5z^{2} e somo 4 em ambos os lados,
6x^{2}+6z^{2} = 12.
Dividindo por 6,
x^{2}+z^{2} = 2.
Portanto a interseção é um círculo no plano xz de raio \sqrt{2}.

Passo 3

Projetando a região W no plano xz (ou seja, eliminando y), obtemos o disco
x^{2}+z^{2} \leqslant 2.
Mas como temos a condição x\leqslant 0, a projeção D é a meia-luna (meio-disco):
D = \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\leqslant 2,\; x\leqslant 0\}.
Para cada ponto (x,z)\in D, a coordenada y varia entre a superfície inferior \,y_{\text{inf}} = x^{2}+z^{2}-4, e a superior \,y_{\text{sup}} = 8-5x^{2}-5z^{2}.
Assim a integral tripla torna-se a integral dupla
\iiint_{W} x^{2}\,dV = \iint_{D} x^{2}\bigl(y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}}\bigr)\,dA.

Passo 4

Calcular a “altura” y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}}:
\begin{aligned} y_{\text{sup}}-y_{\text{inf}} &= \bigl(8-5x^{2}-5z^{2}\bigr) - \bigl(x^{2}+z^{2}-4\bigr)\\[4pt] &= 8-5x^{2}-5z^{2}-x^{2}-z^{2}+4\\[4pt] &= 12 -6x^{2}-6z^{2}\\[4pt] &= 6\bigl(2-(x^{2}+z^{2})\bigr). \end{aligned}
Então a integral fica
\iint_{D} x^{2}\cdot 6\bigl(2-(x^{2}+z^{2})\bigr)\,dA.]

Passo 5

Para facilitar a integral sobre o disco (meia-fatia do disco), utilizamos coordenadas polares no plano xz:
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com o jacobiano dA = r\,dr\,d\theta. Neste sistema x^{2}+z^{2}=r^{2} e x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta.
Os limites para r e \theta são:
0\leqslant r\leqslant \sqrt{2},
e, como queremos a metade com x\leqslant 0 (ou seja \cos\theta\leqslant 0), temos
\frac{\pi}{2}\leqslant \theta\leqslant \frac{3\pi}{2}.

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
\begin{aligned} \iiint_{W} x^{2}\,dV &= \int_{\theta=\pi/2}^{3\pi/2}\int_{r=0}^{\sqrt{2}} \bigl(r^{2}\cos^{2}\theta\bigr)\cdot 6\bigl(2-r^{2}\bigr)\cdot r\,dr\,d\theta\\[4pt] &= 6\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}\cos^{2}\theta\,(2-r^{2})\,dr\,d\theta. \end{aligned}]

Passo 7

Separe a integral em parte angular e radial (produto de integrais, já que a integranda é produto de função de \theta e função de r):
\iiint_{W} x^{2}\,dV = 6\left(\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta\right) \left(\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}(2-r^{2})\,dr\right).
Calcule a integral angular usando \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2}:
\begin{aligned} \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta &= \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta\\[4pt] &= \frac{1}{2}\bigl[\theta\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2} + \frac{1}{4}\bigl[\sin 2\theta\bigr]_{\pi/2}^{3\pi/2}\\[4pt] &= \frac{1}{2}\cdot\pi + \frac{1}{4}\bigl(\sin 3\pi - \sin\pi\bigr)\\[4pt] &= \frac{\pi}{2}. \end{aligned}]

Passo 8

Agora calcule a integral radial
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}(2-r^{2})\,dr = \int_{0}^{\sqrt{2}} \bigl(2r^{3}-r^{5}\bigr)\,dr.
Integrando termo a termo:
\begin{aligned} \int_{0}^{\sqrt{2}} 2r^{3}\,dr &= 2\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{r^{4}}{2}\Big|_{0}^{\sqrt{2}},\\[4pt] \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{5}\,dr &= \frac{r^{6}}{6}\Big|_{0}^{\sqrt{2}}. \end{aligned}
Avalie em r=\sqrt{2}: r^{4}=(\sqrt{2})^{4}=4 e r^{6}=(\sqrt{2})^{6}=8. Assim
\int_{0}^{\sqrt{2}} r^{3}(2-r^{2})\,dr = \frac{4}{2}-\frac{8}{6} = 2-\frac{4}{3} = \frac{2}{3}.]

Passo 9

Juntando os resultados das integrais angular e radial na expressão do Passo 7:
\iiint_{W} x^{2}\,dV = 6\cdot\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot\left(\frac{2}{3}\right).

Resposta

\;2\pi

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