Calcule \iiint_{W} x^{2} d V sendo W a região limitada por y=x^{2}+z^{2}-4 e y=8-5 x^{2}-5 z^{2} com x \leqslant 0.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{W} x^{2}\,dV
onde W é a região limitada pelas superfícies
y = x^{2}+z^{2}-4
e
y = 8-5x^{2}-5z^{2},
com a condição adicional x\leqslant 0.
Informações relevantes dadas:
•Duas superfícies que limitam W no sentido de y: uma "para cima" e outra "para baixo".
•A região é a porção entre essas superfícies.
•Existe a restrição x\leqslant 0 (apenas a metade esquerda em relação ao plano xz).
•Precisamos integrar x^{2} sobre todo o volume W.
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Passo 2
Encontrar a curva de interseção das duas superfícies: igualamos as expressões de y:
x^{2}+z^{2}-4 = 8-5x^{2}-5z^{2}.
Passo a passo: somo 5x^{2}+5z^{2} e somo 4 em ambos os lados,
6x^{2}+6z^{2} = 12.
Dividindo por 6,
x^{2}+z^{2} = 2.
Portanto a interseção é um círculo no plano xz de raio \sqrt{2}.
Passo 3
Projetando a região W no plano xz (ou seja, eliminando y), obtemos o disco
x^{2}+z^{2} \leqslant 2.
Mas como temos a condição x\leqslant 0, a projeção D é a meia-luna (meio-disco):
D = \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\leqslant 2,\; x\leqslant 0\}.
Para cada ponto (x,z)\in D, a coordenada y varia entre a superfície inferior \,y_{\text{inf}} = x^{2}+z^{2}-4, e a superior \,y_{\text{sup}} = 8-5x^{2}-5z^{2}.