ou seja, um disco de raio 2 no plano y\text{-}z; com \,z\ge0 isso vira um semicírculo de raio 2 (ângulo \theta de 0 a \pi se usarmos coordenadas polares no plano y\text{-}z).
As perguntas: calcular o valor numérico da integral tripla.
Passo 2
Escolha de método e coordenadas: como os limites são dados por y^{2}+z^{2} e há simetria circular no plano y\text{-}z, é natural usar coordenadas polares no plano y\text{-}z.
Definimos
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta no intervalo apropriado. Aqui:
r é a distância ao eixo x no plano y\text{-}z (ou seja, r=\sqrt{y^{2}+z^{2}});
\theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo y no plano y\text{-}z (qualquer convenção serve, desde que cubra [0,\pi] para z\ge0).
A transformação tem o jacobiano clássico para coordenadas polares no plano:
dydz = r\,dr\,d\theta.
As faixas ficam:
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le \pi,
e para x:
2 \le x \le 18 - 4r^{2}.
Passo 3
Montando a integral em coordenadas mistas (x em cartesiano, y,z em polares):
Explicando: primeiro integramos em x entre as superfícies verticais dadas; depois integramos sobre o semicírculo em (r,\theta). Sempre lembrar de multiplicar pelo jacobiano r.
Passo 4
Calcule a integral interna em x:
\int_{x=2}^{\,18-4r^{2}} (x+2)\,dx.
Usamos a primitivada de x+2, que é \tfrac{1}{2}x^{2}+2x. Portanto,