Calcule
\iiint_{W} x+2 d V sendo W a região limitada por x=18-4 y^{2}-4 z^{2} e x=2 com z \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{W} (x+2)\,dV
onde W é a região limitada pelas superfícies
x = 18 - 4y^{2} - 4z^{2}
e
x = 2,
com a condição adicional \,z \ge 0.
Informações importantes dadas:
  • A região W é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que 2 \le x \le 18-4y^{2}-4z^{2}.
  • A condição \,z\ge 0 restringe a “fatia” superior do plano z=0: em termos do plano y\text{-}z, teremos apenas a semicircunferência com z\ge0.
  • Para que haja pontos com 2 \le 18-4y^{2}-4z^{2} precisamos de
4(y^{2}+z^{2}) \le 16 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+z^{2} \le 4,
ou seja, um disco de raio 2 no plano y\text{-}z; com \,z\ge0 isso vira um semicírculo de raio 2 (ângulo \theta de 0 a \pi se usarmos coordenadas polares no plano y\text{-}z).
As perguntas: calcular o valor numérico da integral tripla.

Passo 2

Escolha de método e coordenadas: como os limites são dados por y^{2}+z^{2} e há simetria circular no plano y\text{-}z, é natural usar coordenadas polares no plano y\text{-}z.
Definimos
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
com r\ge0 e \theta no intervalo apropriado. Aqui:
  • r é a distância ao eixo x no plano y\text{-}z (ou seja, r=\sqrt{y^{2}+z^{2}});
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo y no plano y\text{-}z (qualquer convenção serve, desde que cubra [0,\pi] para z\ge0).
    A transformação tem o jacobiano clássico para coordenadas polares no plano:
dydz = r\,dr\,d\theta.
As faixas ficam:
0\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le \pi,
e para x:
2 \le x \le 18 - 4r^{2}.

Passo 3

Montando a integral em coordenadas mistas ( x em cartesiano, y,z em polares):
\iiint_{W} (x+2)\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{x=2}^{\,18-4r^{2}} (x+2)\; dx\; (r\,dr\,d\theta).
Explicando: primeiro integramos em x entre as superfícies verticais dadas; depois integramos sobre o semicírculo em (r,\theta). Sempre lembrar de multiplicar pelo jacobiano r.

Passo 4

Calcule a integral interna em x:
\int_{x=2}^{\,18-4r^{2}} (x+2)\,dx.
Usamos a primitivada de x+2, que é \tfrac{1}{2}x^{2}+2x. Portanto,
\int_{2}^{18-4r^{2}} (x+2)\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}+2x\right]_{x=2}^{x=18-4r^{2}}.
Agora avaliamos:
\left.\tfrac{1}{2}x^{2}+2x\right|_{x=18-4r^{2}} = \tfrac{1}{2}(18-4r^{2})^{2}+2(18-4r^{2})
e
\left.\tfrac{1}{2}x^{2}+2x\right|_{x=2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2^{2}+2\cdot 2 = 2+4=6.
Subtraindo:
\tfrac{1}{2}(18-4r^{2})^{2}+2(18-4r^{2}) - 6.

Passo 5

Simplificamos a expressão obtida em função de r. Primeiro expandimos:
(18-4r^{2})^{2} = 324 - 144r^{2} + 16 r^{4}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}
\tfrac{1}{2}(18-4r^{2})^{2} = 162 -72r^{2} +8 r^{4}.
Somando 2(18-4r^{2}) = 36 -8 r^{2} obtemos
162 -72r^{2} +8 r^{4} + 36 -8 r^{2} = 198 -80 r^{2} +8 r^{4}.
Subtraindo 6 resulta
192 -80 r^{2} +8 r^{4}.
Portanto a integral interna em x vale \,192 -80 r^{2} +8 r^{4}.

Passo 6

Voltando à integral dupla em r,\theta e lembrando do jacobiano r:
\iiint_{W} (x+2)\,dV = \int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2} \big(192 -80 r^{2} +8 r^{4}\big)\, r\,dr\,d\theta.
Multiplicamos por r para obter o integrando em r:
\big(192 -80 r^{2} +8 r^{4}\big) r = 192r -80 r^{3} +8 r^{5}.

Passo 7

Integramos em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \big(192r -80 r^{3} +8 r^{5}\big)\,dr = \left[96 r^{2} -20 r^{4} + \tfrac{4}{3} r^{6}\right]_{0}^{2}.
Agora avaliamos em r=2:
96\cdot 2^{2} -20\cdot 2^{4} + \tfrac{4}{3}\cdot 2^{6} = 96\cdot 4 -20\cdot 16 + \tfrac{4}{3}\cdot 64.
Calculando termo a termo:
96\cdot 4 = 384,\qquad -20\cdot 16 = -320,\qquad \tfrac{4}{3}\cdot 64 = \tfrac{256}{3}.
Somando:
384 -320 + \tfrac{256}{3} = 64 + \tfrac{256}{3} = \tfrac{192+256}{3} = \tfrac{448}{3}.

Passo 8

Agora integramos em \theta de 0 a \pi. A quantidade obtida na integração em r é constante em \theta, então:
\int_{0}^{\pi} \tfrac{448}{3}\, d\theta = \tfrac{448}{3}\cdot \pi = \tfrac{448\pi}{3}.
Pronto — chegamos à forma final.

Resposta

\displaystyle \frac{448\pi}{3}

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