Calcule \iiint_{D} x d V, em que D é o sólido limitado superiormente pela esfera x^{2}+ y^{2}+z^{2}=16 e inferiormente pelo paraboloide z=\frac{x^{2}+y^{2}}{6}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \iiint_{D} x\,dV,
onde D é o sólido limitado acima pela esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=16
e abaixo pelo paraboloide
z=\frac{x^{2}+y^{2}}{6}.
O conteúdo principal aqui é usar a simetria do domínio e propriedades de integrais triplas.

Passo 2

Note que o integrando é a função f(x,y,z)=x, que é ímpar em x. Além disso, o domínio D é simétrico em relação ao plano x=0: se (x,y,z)\in D então (-x,y,z)\in D. Em integridade, pontos simétricos contribuem com valores de f opostos e se anulam no somatório. Logo,
\iiint_{D} x\,dV = 0.

Resposta

0

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