Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
, e pelos planos
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido em que estamos no primeiro octante
,
,
, limitado superiormente pelo paraboloide
lateralmente pelo cilindro (na verdade tubo vertical)
e pelo plano
, e inferiormente pelo plano
.
Para achar esse volume, vamos projetar o sólido no plano e usar uma integral tripla que, após integrar em
, vira uma dupla em
e
.
Para achar esse volume, vamos projetar o sólido no plano
Passo 2
Identificamos a região
no plano
. Como estamos em
por um lado e
por outro, e queremos
,
, fica
Note que a condição
força
.
Passo 3
Escrevemos o volume como
Em coordenadas cartesianas isso dá
Passo 4
Calculemos primeiro a integral interna em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Cada termo fica
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Resposta
O volume do sólido é
.