Calcule o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide z= x^{2}+y^{2}, pelo cilindro y=x^{2}, e pelos planos y=x, z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em que estamos no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0, limitado superiormente pelo paraboloide
z = x^{2}+y^{2},
lateralmente pelo cilindro (na verdade tubo vertical) y = x^{2} e pelo plano y = x, e inferiormente pelo plano z=0.
Para achar esse volume, vamos projetar o sólido no plano xy e usar uma integral tripla que, após integrar em z, vira uma dupla em x e y.

Passo 2

Identificamos a região R no plano xy. Como estamos em y=x^{2} por um lado e y=x por outro, e queremos x\ge0, y\ge0, fica
0 \le x \le 1,\qquad x^{2}\le y\le x.
Note que a condição x^{2}\le x força 0\le x\le1.

Passo 3

Escrevemos o volume como
V = \iiint_{\text{sólido}} dV = \iint_{R}\Bigl(\int_{z=0}^{z=x^{2}+y^{2}}dz\Bigr)\,dA = \iint_{R}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA.ó
Em coordenadas cartesianas isso dá
V = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{x}(x^{2}+y^{2})\,dy = \Bigl[x^{2}y + \tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=x} = \Bigl(x^{3} + \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr) - \Bigl(x^{4} + \tfrac{x^{6}}{3}\Bigr) = \tfrac{4}{3}x^{3} - x^{4} - \tfrac{x^{6}}{3}.

Passo 5

Agora integramos em x:
V = \int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{4}{3}x^{3} - x^{4} - \tfrac{x^{6}}{3}\Bigr)\,dx = \tfrac{4}{3}\int_{0}^{1}x^{3}dx \;-\;\int_{0}^{1}x^{4}dx\;-\;\tfrac{1}{3}\int_{0}^{1}x^{6}dx.
Cada termo fica
\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{1}{4}= \tfrac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1}x^{4}dx=\tfrac{1}{5}, \quad \tfrac{1}{3}\int_{0}^{1}x^{6}dx=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{7}=\tfrac{1}{21}.
Logo
V = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{21} = \frac{35 - 21 - 5}{105} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{3}{35}.

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