Prove os seguintes teoremas.
Theorem 1.4.1 Seja f é contínua em x_{0} \in D(f) e c \in \mathbb{R}.
Se f\left(x_{0}\right)>c, então exite \delta>0 tal que f(x)>c para todo x \in D(f) \cap B_{\delta}\left(x_{0}\right).

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua em x_{0}\in D(f) e que existe um número real c tal que f(x_{0})>c. Queremos mostrar que, em alguma vizinhança de x_{0}, todos os valores de f permanecem acima de c. Para isso vamos usar a definição de continuidade: dado \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que \lvert f(x)-f(x_{0})\rvert<\varepsilon sempre que \lvert x-x_{0}\rvert<\delta.

Passo 2

Como f(x_{0})>c, o número
\varepsilon = f(x_{0}) - c
é estritamente positivo.

Passo 3

Pela continuidade de f em x_{0}, existe \delta>0 tal que, para todo x\in D(f) com \lvert x-x_{0}\rvert<\delta, vale
\lvert f(x)-f(x_{0})\rvert < \varepsilon.

Passo 4

Da desigualdade anterior obtemos
-\varepsilon < f(x)-f(x_{0}) < \varepsilon \quad\Longrightarrow\quad f(x) > f(x_{0}) - \varepsilon.
Mas como \varepsilon = f(x_{0}) - c, segue
f(x) > f(x_{0}) - \bigl(f(x_{0}) - c\bigr) = c.

Resposta

Tomando \varepsilon = f(x_{0})-c e escolhendo \delta>0 pela definição de continuidade, garantimos que f(x)>c para todo x\in D(f)\cap B_{\delta}(x_{0}), como queríamos demonstrar.

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