Prove os seguintes teoremas.
Theorem 1.4.1 Seja
é contínua em
e
.
Se
, então exite
tal que
para todo
.
Theorem 1.4.1 Seja
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
e que existe um número real
tal que
. Queremos mostrar que, em alguma vizinhança de
, todos os valores de
permanecem acima de
. Para isso vamos usar a definição de continuidade: dado
, existe
tal que
sempre que
.
Passo 2
Como
, o número
é estritamente positivo.
Passo 3
Pela continuidade de
em
, existe
tal que, para todo
com
, vale
Passo 4
Da desigualdade anterior obtemos
Mas como
, segue
Resposta
Tomando
e escolhendo
pela definição de continuidade, garantimos que
para todo
, como queríamos demonstrar.