Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do integral
que é o volume da região em
tal que
Para resolver, vamos usar duas ideias principais:
- uma mudança de escala que elimina o parâmetro
do domínio; - o cálculo do caso
em coordenadas polares, que depois multiplicamos pelo fator de escala adequado.
Passo 2
Fazemos a substituição de escala
Então
Os limites transformam-se em
Como veremos adiante, para
(ou no caso mais simpático
) o domínio em
reduz-se ao disco centrado em
de raio
, que em polares com origem na reta
fica simples. Escrevemos então
isto é, basta computar
Passo 3
Calculemos
Agora mudamos para coordenadas polares no plano
, com
o disco
fica
,
, e
Portanto
O integral em
faz-se por substituição
:
Aqui
, logo
, e
Assim
E sabe-se
portanto
Passo 4
Voltando ao nosso integral geral, usamos a escala
. Logo