Determine a massa e o centro de massa do sólido
limitado pelo parabolóide
o pelo plano
, se
tem densidade constante
.
Passo 1
O enunciado define o sólido
limitado pelo paraboloide
e pelo plano
(com
), com densidade constante
. Pede-se a massa
de
e o seu centro de massa
. O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas e uso de simetria para as componentes horizontais do centro de massa.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
A região
corresponde a
Logo a integral de massa é
Passo 3
Compute o integral de
:
Então
Calcule
Logo
Passo 4
Por simetria de
e densidade constante, as componentes horizontais do centro de massa são
Passo 5
Para
usamos
Primeiro
Logo o momento em
vale
Passo 6
Calcule
Então o momento em
é
e
Resposta
Massa:
Centro de massa:
Centro de massa: