Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo parabolóide z=4 x^{2}+4 y^{2} o pelo plano z=a(a>0), se S tem densidade constante K.

Passo 1

O enunciado define o sólido S limitado pelo paraboloide z=4x^2+4y^2 e pelo plano z=a (com a>0), com densidade constante K. Pede-se a massa M de S e o seu centro de massa (\bar x,\bar y,\bar z). O conteúdo é integração tripla em coordenadas cilíndricas e uso de simetria para as componentes horizontais do centro de massa.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dz\,dr\,d\theta.
A região S corresponde a
0\le \theta\le2\pi,\quad 0\le r\le \sqrt{\frac{a}{4}},\quad 4r^2\le z\le a.
Logo a integral de massa é
M=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{a/4}}\!\int_{4r^2}^{a}K\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Compute o integral de z:
\int_{4r^2}^{a}dz=a-4r^2.
Então
M =K\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{a/4}}(a-4r^2)\,r\,dr\,d\theta =2\pi K\int_{0}^{\sqrt{a/4}}(a\,r-4r^3)\,dr.
Calcule
\int_{0}^{\sqrt{a/4}}(a\,r-4r^3)\,dr =\left[\tfrac{a\,r^2}{2}-r^4\right]_{0}^{\sqrt{a/4}} =\frac{a^2}{16}.
Logo
M=2\pi K\cdot\frac{a^2}{16}=\frac{\pi K a^2}{8}.

Passo 4

Por simetria de S e densidade constante, as componentes horizontais do centro de massa são
\bar x =\frac{1}{M}\iiint_{S}x\,\rho\,dV=0, \quad \bar y=0.

Passo 5

Para \bar z usamos
\bar z =\frac{1}{M}\iiint_{S}z\,K\,dV =\frac{K}{M}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{a/4}}\!\int_{4r^2}^{a}z\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Primeiro
\int_{4r^2}^{a}z\,dz =\frac{a^2}{2}-\frac{(4r^2)^2}{2} =\frac{a^2}{2}-8r^4.
Logo o momento em z vale
2\pi K\int_{0}^{\sqrt{a/4}}\bigl(\tfrac{a^2}{2}r-8r^5\bigr)\,dr.

Passo 6

Calcule
\int_{0}^{\sqrt{a/4}}\bigl(\tfrac{a^2}{2}r-8r^5\bigr)\,dr =\left[\tfrac{a^2r^2}{4}-\tfrac{8r^6}{6}\right]_{0}^{\sqrt{a/4}} =\frac{a^3}{24}.
Então o momento em z é 2\pi K\cdot\frac{a^3}{24}=\frac{\pi K a^3}{12} e
\bar z =\frac{\pi K a^3/12}{\pi K a^2/8} =\frac{8a}{12} =\frac{2a}{3}.

Resposta

Massa: \displaystyle M=\frac{\pi K a^2}{8}.
Centro de massa: \displaystyle (\bar x,\bar y,\bar z)=(0,0,\tfrac{2a}{3}).

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