Calcule a integral após a mudança para coordenadas cilíndricas:
(a) \int_{-4}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16-y^{2}}} \int_{0}^{6+x} 6 y x^{2} d z d x d y.
(b) \int_{0}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{-\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}^{6+x^{2}+y^{2}} 15 z d z d y d x.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as duas integrais mudando para coordenadas cilíndricas. Escrevo as integrais dadas e as informações importantes:
O domínio projetado no plano xy é o semicírculo de raio 3 com x\ge 0, porque 0\le x\le 3 e -\sqrt{9-x^{2}}\le y\le \sqrt{9-x^{2}}.
Para cada ponto (x,y) dessa região, z varia entre -\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} e 6+x^{2}+y^{2}.
Passo 2
Vamos recordar a mudança para coordenadas cilíndricas (aquela que salva a vida quando aparece x^{2}+y^{2}):
As fórmulas de transformação são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
O elemento de volume (Jacobian) vale
dV = r\;dr\;d\theta\;dz.
Explicando de leve: r é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo medido a partir do eixo x (no plano xy), e o fator extra r aparece porque, ao passar de retângulos dx\,dy para anéis dr\,d\theta, a área do anel tem comprimento proporcional a r.
Também vamos determinar os intervalos típicos de \theta para semicírculos com x\ge 0: como x=r\cos\theta\ge 0, temos \cos\theta\ge 0, logo o ângulo varia em
-\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
Passo 3
Converter a integral (a) para coordenadas cilíndricas.
Descrição da região xy: como identificado no Passo 1, é o semicírculo de raio 4 com x\ge 0. Em cilíndricas:
Observe o comportamento em \theta: tanto \cos^{2}\theta quanto \cos^{3}\theta são funções pares de \theta, enquanto \sin\theta é ímpar. Portanto cada termo acima é uma função ímpar de \theta. Como os limites de \theta são simétricos em torno de zero (-\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}), a integral em \theta de uma função ímpar é zero.
Limites em z: inferior z=-\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}=-\sqrt{2}\,r (peguei essa expressão do enunciado: -\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}), superior z=6+x^{2}+y^{2}=6+r^{2}. Logo
-\sqrt{2}\,r \le z \le 6 + r^{2}.
Integrando o integrando: 15\,z multiplica o Jacobiano r, ficando