Calcule a integral após a mudança para coordenadas cilíndricas:
(a) \int_{-4}^{4} \int_{0}^{\sqrt{16-y^{2}}} \int_{0}^{6+x} 6 y x^{2} d z d x d y.
(b) \int_{0}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{-\sqrt{2 x^{2}+2 y^{2}}}^{6+x^{2}+y^{2}} 15 z d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as duas integrais mudando para coordenadas cilíndricas. Escrevo as integrais dadas e as informações importantes:
(a) Integração sobre y,x,z:
\int_{-4}^{4}\int_{0}^{\sqrt{16-y^{2}}}\int_{0}^{6+x} 6\,y\,x^{2}\;dz\;dx\;dy.
Informações extraídas do enunciado:
  • O domínio projetado no plano xy é o semicírculo de raio 4 com x\ge 0, porque 0\le x\le \sqrt{16-y^{2}} e -4\le y\le 4.
  • Para cada ponto (x,y) dessa região, z varia entre 0 e 6+x.
(b) Integração sobre x,y,z:
\int_{0}^{3}\int_{-\sqrt{9-x^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}}}\int_{-\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}}^{6+x^{2}+y^{2}} 15\,z\;dz\;dy\;dx.
Informações extraídas do enunciado:
  • O domínio projetado no plano xy é o semicírculo de raio 3 com x\ge 0, porque 0\le x\le 3 e -\sqrt{9-x^{2}}\le y\le \sqrt{9-x^{2}}.
  • Para cada ponto (x,y) dessa região, z varia entre -\sqrt{2(x^{2}+y^{2})} e 6+x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Vamos recordar a mudança para coordenadas cilíndricas (aquela que salva a vida quando aparece x^{2}+y^{2}):
  • As fórmulas de transformação são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • O elemento de volume (Jacobian) vale
dV = r\;dr\;d\theta\;dz.
Explicando de leve: r é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo medido a partir do eixo x (no plano xy), e o fator extra r aparece porque, ao passar de retângulos dx\,dy para anéis dr\,d\theta, a área do anel tem comprimento proporcional a r.
Também vamos determinar os intervalos típicos de \theta para semicírculos com x\ge 0: como x=r\cos\theta\ge 0, temos \cos\theta\ge 0, logo o ângulo varia em
-\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Converter a integral (a) para coordenadas cilíndricas.
  1. Descrição da região xy: como identificado no Passo 1, é o semicírculo de raio 4 com x\ge 0. Em cilíndricas:
0\le r\le 4,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
  1. Limites em z: dado 0\le z\le 6+x, substituindo x=r\cos\theta obtemos
0\le z\le 6 + r\cos\theta.
  1. Integrando o integrando: 6\,y\,x^{2} vira, com x=r\cos\theta e y=r\sin\theta,
6\,y\,x^{2} = 6\,(r\sin\theta)\,(r\cos\theta)^{2} = 6\,r^{3}\sin\theta\cos^{2}\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em cilíndricas:
6\,r^{3}\sin\theta\cos^{2}\theta \cdot r = 6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta.
  1. Então a integral em cilíndricas é
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{4}\int_{z=0}^{6+r\cos\theta} 6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\;dz\;dr\;d\theta.

Passo 4

Calcular a integral (a) usando a forma cilíndrica montada.
  1. Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{6+r\cos\theta} 6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\;dz =6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\cdot\bigl(6+r\cos\theta\bigr).
  1. Escrevendo o integrando em r,\theta:
6\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta\,(6+r\cos\theta) =36\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta \;+\;6\,r^{5}\sin\theta\cos^{3}\theta.
  1. Observe o comportamento em \theta: tanto \cos^{2}\theta quanto \cos^{3}\theta são funções pares de \theta, enquanto \sin\theta é ímpar. Portanto cada termo acima é uma função ímpar de \theta. Como os limites de \theta são simétricos em torno de zero ( -\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{2}), a integral em \theta de uma função ímpar é zero.
  2. Conclusão: toda a integral vale zero:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{4}\bigl(36\,r^{4}\sin\theta\cos^{2}\theta + 6\,r^{5}\sin\theta\cos^{3}\theta\bigr)dr\,d\theta = 0.

Passo 5

Converter a integral (b) para coordenadas cilíndricas.
  1. Região xy: semicírculo de raio 3 com x\ge 0, então
0\le r\le 3,\qquad -\tfrac{\pi}{2}\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}.
  1. Limites em z: inferior z=-\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}=-\sqrt{2}\,r (peguei essa expressão do enunciado: -\sqrt{2x^{2}+2y^{2}}), superior z=6+x^{2}+y^{2}=6+r^{2}. Logo
-\sqrt{2}\,r \le z \le 6 + r^{2}.
  1. Integrando o integrando: 15\,z multiplica o Jacobiano r, ficando
15\,z\cdot r = 15\,r\,z.
  1. A integral em coordenadas cilíndricas fica
\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{3}\int_{z=-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} 15\,r\,z\;dz\;dr\;d\theta.

Passo 6

Calcular a integral (b) explicitamente.
  1. Integramos primeiro em z:
\int_{z=-\sqrt{2}\,r}^{6+r^{2}} 15\,r\,z\;dz = 15\,r\cdot\frac{z^{2}}{2}\Big|_{z=-\sqrt{2}\,r}^{z=6+r^{2}} = \frac{15}{2}\,r\Big[(6+r^{2})^{2} - \bigl(-\sqrt{2}\,r\bigr)^{2}\Big].
  1. Simplificamos a expressão interna:
(6+r^{2})^{2} - \bigl(-\sqrt{2}\,r\bigr)^{2} = (36 + 12r^{2} + r^{4}) - (2r^{2}) = r^{4} + 10r^{2} + 36.
  1. Portanto a integral reduz a
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{3} \frac{15}{2}\,r\bigl(r^{4}+10r^{2}+36\bigr)\;dr\;d\theta.
  1. A função integranda não depende de \theta, então a integral em \theta só dá o comprimento do intervalo:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \pi.
Logo o valor total é \pi vezes a integral em r.
  1. Calcule a integral em r:
\int_{0}^{3} \frac{15}{2}\bigl(r^{5}+10r^{3}+36r\bigr)\;dr =\frac{15}{2}\left[\frac{r^{6}}{6}+\frac{10r^{4}}{4}+\frac{36r^{2}}{2}\right]_{0}^{3}.
  1. Simplificando os coeficientes dentro dos colchetes:
\frac{r^{6}}{6}+\frac{10r^{4}}{4}+\frac{36r^{2}}{2} =\frac{r^{6}}{6}+\frac{5r^{4}}{2}+18r^{2}.
  1. Avaliando em r=3:
\frac{3^{6}}{6}+\frac{5\cdot 3^{4}}{2}+18\cdot 3^{2} =\frac{729}{6}+\frac{5\cdot81}{2}+18\cdot9 =\frac{243}{2}+\frac{405}{2}+162 =486.
  1. Multiplicando pelos fatores externos:
\frac{15}{2}\cdot 486 = 15\cdot 243 = 3645.
  1. Finalmente multiplicando pelo fator \pi da integral em \theta, obtemos o valor total da integral (b):
3645\,\pi.

Resposta

0
3645\pi

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