Calcule \iiint_{E} x y z d V, onde E está entre as esferas \rho=2 e acima do cone \varphi=\frac{\pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede a integral triple
\iiint_{E} x y z\, dV,
onde E é a região do espaço que está limitada pela esfera \rho=2 e fica “acima” do cone \varphi=\tfrac{\pi}{3}. As informações relevantes são:
  • A superfície esférica que limita E tem equação \rho=2.
  • O cone que limita inferiormente E é dado por \varphi=\tfrac{\pi}{3}.
  • Por “acima do cone” entende-se a porção com \varphi variando de 0 até \tfrac{\pi}{3} (região voltada para o eixo z positivo).
  • A região é o sólido dentro da esfera de raio 2 com vértices ao longo do eixo z, restrita a 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{3}, 0\le \rho\le 2 e 0\le \theta\le 2\pi.
    A tarefa é computar essa integral e devolver o valor numérico final.

Passo 2

Troca para coordenadas esféricas — lembrar as fórmulas básicas e o jacobiano.
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho (distância ao origem), \varphi (ângulo desde o eixo z) e \theta (ângulo azimutal no plano xy).
  • As relações com coordenadas cartesianas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Aqui: \rho\ge0 é o raio; \varphi\in[0,\pi] mede o afastamento do eixo z; \theta\in[0,2\pi) gira em torno do eixo z. O fator \rho^{2}\sin\varphi é o jacobiano da transformação — é essencial porque estamos mudando a medida de volume.

Passo 3

Expressar o integrando x y z em esféricas e montar a integral com os limites da região E.
  • Substituindo:
x y z=(\rho\sin\varphi\cos\theta)(\rho\sin\varphi\sin\theta)(\rho\cos\varphi)=\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta.
  • Multiplicando por dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta obtemos o integrando total
\rho^{3}\sin^{2}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta\cdot \rho^{2}\sin\varphi =\rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta.
  • Os limites para E são
0\le \rho\le 2,\qquad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{3},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
  • Portanto a integral vira
\iiint_{E} x y z\, dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{2}\rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Separar a integral em fatores que dependem apenas de \rho, \varphi e \theta. Isso facilita ver propriedades de simetria.
  • A função a integrar é produto de três fatores, cada qual dependendo de uma única variável:
\rho^{5}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\cos\theta\sin\theta = \bigl(\rho^{5}\bigr)\bigl(\sin^{3}\varphi\cos\varphi\bigr)\bigl(\cos\theta\sin\theta\bigr).
  • Assim a integral tripla se fatoriza (porque os limites de cada variável são independentes):
\iiint_{E} x y z\, dV =\left(\int_{0}^{2}\rho^{5}\, d\rho\right) \left(\int_{0}^{\pi/3}\sin^{3}\varphi\cos\varphi\, d\varphi\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\, d\theta\right).

Passo 5

Calcular a integral em \theta. Este é o passo decisivo porque mostra que a integral total é zero.
  • Use a identidade trigonométrica
\cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
  • Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\, d\theta =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\, d\theta.
  • A função \sin(2\theta) tem período \pi, de modo que em um intervalo de comprimento 2\pi a integral completa é zero. Computando explicitamente:
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\, d\theta =\tfrac{1}{2}\left[ -\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{2\pi} =\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\cos(4\pi)+\tfrac{1}{2}\cos 0\right) =\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}\cdot1\right)=0.
  • Conclusão: o fator angular em \theta é zero, logo o produto inteiro será zero, independentemente dos resultados das integrais em \rho e \varphi.

Passo 6

Interpretação pelo princípio de simetria (intuição extra, útil para provas rápidas).
  • A região E é simétrica em relação ao plano x=0: para cada ponto (x,y,z)\in E existe (-x,y,z)\in E.
  • A função f(x,y,z)=x y z muda de sinal quando x\mapsto -x (pois é linear em x). Assim os valores de f em pontos simétricos se cancelam na integração.
  • Portanto por simetria a integral sobre E deve ser 0. Essa observação evita cálculos e é a forma mais rápida em prova: detecte simetria de paridade (imparidade) e conclua zero.

Passo 7

Fechamento formal: como o fator \theta é zero, a integral total é zero independentemente do que seriam as integrais em \rho e \varphi. Assim
\iiint_{E} x y z\, dV = 0.

Resposta

0

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