Calcule
, onde
está entre as esferas
e acima do cone
.
Passo 1
O enunciado pede a integral triple
onde
é a região do espaço que está limitada pela esfera
e fica “acima” do cone
. As informações relevantes são:
- A superfície esférica que limita
tem equação . - O cone que limita inferiormente
é dado por . - Por “acima do cone” entende-se a porção com
variando de até (região voltada para o eixo positivo). - A região é o sólido dentro da esfera de raio
com vértices ao longo do eixo , restrita a , e .
A tarefa é computar essa integral e devolver o valor numérico final.
Passo 2
Troca para coordenadas esféricas — lembrar as fórmulas básicas e o jacobiano.
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
(distância ao origem), (ângulo desde o eixo ) e (ângulo azimutal no plano ). - As relações com coordenadas cartesianas são
- O elemento de volume é
Aqui:
é o raio;
mede o afastamento do eixo
;
gira em torno do eixo
. O fator
é o jacobiano da transformação — é essencial porque estamos mudando a medida de volume.
Passo 3
Expressar o integrando
em esféricas e montar a integral com os limites da região
.
- Substituindo:
- Multiplicando por
obtemos o integrando total
- Os limites para
são
- Portanto a integral vira
Passo 4
Separar a integral em fatores que dependem apenas de
,
e
. Isso facilita ver propriedades de simetria.
- A função a integrar é produto de três fatores, cada qual dependendo de uma única variável:
- Assim a integral tripla se fatoriza (porque os limites de cada variável são independentes):
Passo 5
Calcular a integral em
. Este é o passo decisivo porque mostra que a integral total é zero.
- Use a identidade trigonométrica
- Portanto
- A função
tem período , de modo que em um intervalo de comprimento a integral completa é zero. Computando explicitamente:
- Conclusão: o fator angular em
é zero, logo o produto inteiro será zero, independentemente dos resultados das integrais em e .
Passo 6
Interpretação pelo princípio de simetria (intuição extra, útil para provas rápidas).
- A região
é simétrica em relação ao plano : para cada ponto existe . - A função
muda de sinal quando (pois é linear em ). Assim os valores de em pontos simétricos se cancelam na integração. - Portanto por simetria a integral sobre
deve ser . Essa observação evita cálculos e é a forma mais rápida em prova: detecte simetria de paridade (imparidade) e conclua zero.
Passo 7
Fechamento formal: como o fator
é zero, a integral total é zero independentemente do que seriam as integrais em
e
. Assim
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