Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações.
Passo 1
O enunciado dá a equação parcial
e pede para decidir se o método de separação de variáveis pode ser usado para transformar essa equação em um par de equações diferenciais ordinárias. Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função só de . -
é uma função só de . - A incógnita é
, função de e .
A tarefa é: (i) verificar se o ansatz de separaçãofunciona; (ii) obter as ODEs resultantes (caso funcione).
Passo 2
Motivação e escolha do ansatz. Ideia do método de separação: assumir que a solução pode ser escrita como produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
. Então proponho
onde
depende apenas de
e
apenas de
. Isso é um palpite de forma que costuma funcionar quando os coeficientes da PDE são funções de uma variável separada (aqui ambos dependem só de
), portanto vale a pena tentar.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias com o ansatz. Primeiro a derivada em
:
Então
porque
é constante em relação a
. Agora a derivada em
:
Passo 4
Substituir as derivadas na equação original e dividir para separar variáveis. Substituindo obtemos
Reorganizando e dividindo por
(assumindo
e
não nulos nas regiões consideradas) temos
Isolando os termos de
e de
,
O lado esquerdo é uma função que depende apenas de
(porque
,
e
dependem só de
); o lado direito depende apenas de
. Para que uma função de
seja igual a uma função de
para todos
deve existir uma constante
tal que ambas sejam iguais a essa constante. Portanto podemos escrever
onde escolhi o sinal negativo por convenção (isso facilita obter formas do tipo autovalor; poderia escolher somente
sem o sinal também).
Passo 5
Escrever explicitamente as ODEs obtidas e interpretar. Multiplicando as relações anteriores, obtemos o sistema de ODEs ordinárias separadas:
Observações didáticas:
- A primeira ODE é uma equação diferencial ordinária linear de 1.º ordem para
. Sua solução geral é para constante . - A segunda ODE é uma equação ordinária em
, geralmente de segunda ordem; dependendo de e e das condições de contorno isso pode ser um problema de autovalores (para certos admitidos). - Condição necessária para a divisão feita antes é que
e não sejam identicamente zero; além disso, se for zero em partes do domínio convém tratar o caso separadamente (se a equação se reduz a , que exige ou ). - A escolha do sinal em
é apenas convensão; escolher mudaria sinais nas equações correspondentes sem alterar a essência da separação.