Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações.
\left[p(x) u_{x}\right]_{x}-r(x) u_{t}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação parcial
\left[p(x)\,u_{x}\right]_{x}-r(x)\,u_{t}=0
e pede para decidir se o método de separação de variáveis pode ser usado para transformar essa equação em um par de equações diferenciais ordinárias. Informações relevantes fornecidas:
  • p(x) é uma função só de x.
  • r(x) é uma função só de x.
  • A incógnita é u(x,t), função de x e t.
    A tarefa é: (i) verificar se o ansatz de separação u(x,t)=X(x)\,T(t) funciona; (ii) obter as ODEs resultantes (caso funcione).

Passo 2

Motivação e escolha do ansatz. Ideia do método de separação: assumir que a solução pode ser escrita como produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de t. Então proponho
u(x,t)=X(x)\,T(t),
onde X depende apenas de x e T apenas de t. Isso é um palpite de forma que costuma funcionar quando os coeficientes da PDE são funções de uma variável separada (aqui ambos dependem só de x), portanto vale a pena tentar.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias com o ansatz. Primeiro a derivada em x:
u_x(x,t)=X'(x)\,T(t).
Então
\big[p(x)\,u_x\big]_x=\big[p(x)\,X'(x)\,T(t)\big]_x=\big(p(x)X'(x)\big)'\,T(t),
porque T(t) é constante em relação a x. Agora a derivada em t:
u_t(x,t)=X(x)\,T'(t).

Passo 4

Substituir as derivadas na equação original e dividir para separar variáveis. Substituindo obtemos
\big(pX'\big)'\,T - r(x)\,X\,T' = 0.
Reorganizando e dividindo por X(x)\,T(t) (assumindo X e T não nulos nas regiões consideradas) temos
\frac{\big(pX'\big)'}{X} - r(x)\,\frac{T'}{T}=0.
Isolando os termos de x e de t,
\frac{\big(pX'\big)'}{r(x)\,X} = \frac{T'}{T}.
O lado esquerdo é uma função que depende apenas de x (porque p, r e X dependem só de x); o lado direito depende apenas de t. Para que uma função de x seja igual a uma função de t para todos x,t deve existir uma constante \lambda tal que ambas sejam iguais a essa constante. Portanto podemos escrever
\frac{T'(t)}{T(t)} = -\lambda \qquad\text{e}\qquad \frac{\big(p(x)X'(x)\big)'}{r(x)\,X(x)} = -\lambda,
onde escolhi o sinal negativo por convenção (isso facilita obter formas do tipo autovalor; poderia escolher somente \lambda sem o sinal também).

Passo 5

Escrever explicitamente as ODEs obtidas e interpretar. Multiplicando as relações anteriores, obtemos o sistema de ODEs ordinárias separadas:
T'(t) = -\lambda\,T(t),
\big(p(x)X'(x)\big)' + \lambda\,r(x)\,X(x)=0.
Observações didáticas:
  • A primeira ODE é uma equação diferencial ordinária linear de 1.º ordem para T. Sua solução geral é T(t)=C\,e^{-\lambda t} para constante C.
  • A segunda ODE é uma equação ordinária em x, geralmente de segunda ordem; dependendo de p(x) e r(x) e das condições de contorno isso pode ser um problema de autovalores (para certos \lambda admitidos).
  • Condição necessária para a divisão feita antes é que X e T não sejam identicamente zero; além disso, se r(x) for zero em partes do domínio convém tratar o caso separadamente (se r\equiv0 a equação se reduz a \big(pX'\big)'\,T=0, que exige \big(pX'\big)'=0 ou T\equiv0).
  • A escolha do sinal em -\lambda é apenas convensão; escolher +\lambda mudaria sinais nas equações correspondentes sem alterar a essência da separação.

Resposta

T'(t) = -\lambda\,T(t)
\big(p(x)X'(x)\big)' + \lambda\,r(x)\,X(x)=0

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