Calcule
, se:
(a)
e
(b)
e
(c)
e
(d)
e
(e)
e
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular cinco integrais duplas do tipo
cada uma com uma função
e um retângulo
dados. As cinco perguntas são:
(a) Calcular
com
.
(b) Calcular
com
.
(c) Calcular
com
.
(d) Calcular
com
.
(e) Calcular
com
.
Informações relevantes dadas: para cada caso temos a função
definida no retângulo
explícito (produtos de intervalos). Não há mais informações externas — tudo que precisamos está acima.
Passo 2
Primeiro uma ideia geral (isso vale para todas as partes): quando
é um retângulo do tipo
e
é contínua, podemos usar a fórmula de Fubini e transformar a integral dupla em uma integral iterada. Ou seja,
Isso significa que podemos integrar primeiro em
(tratando
como constante) ou primeiro em
(tratando
como constante). Também usaremos linearidade da integral (podemos integrar termo a termo) e algumas fórmulas básicas de antiderivadas:
Vou aplicar isso passo a passo em cada item, escolhendo a ordem de integração que simplifica as contas.
Passo 3
Queremos
Como o integrando separa em produto de função só de
por função só de
, podemos escrever a integral dupla como produto de integrais simples:
Calcule cada uma:
Multiplicando:
Passo 4
Queremos
Primeiro simplifico o integrando expandindo:
Multiplicando e simplificando (observa que os termos
se cancelam):
Agora integramos termo a termo sobre o quadrado unitário:
Calculo a integral interna em
:
Somando:
Agora integro em
:
Somando tudo:
Logo a integral vale
.
Passo 5
Queremos
Escolho integrar primeiro em
:
Interna em
:
Portanto a integral interna é
.
Agora integro em
de
a
:
Então a integral vale
.
Passo 6
Queremos
Note que o integrando separa em
vezes
. Assim
Calculo as duas integrais:
Multiplicando:
Passo 7
Queremos
Aqui a integração direta termo a termo gera integrais de polinômio vezes exponencial, que podem ser feitas mas dão muitas etapas. Um truque elegante e muito útil: perceber que
Somando:
Ou seja, o integrando é o laplaciano de
. Assim
Agora aplicamos integrações por partes em bloco (ou, equivalentemente, usamos o teorema do cálculo para integrais de derivadas): integrar
em
sob o intervalo
resulta na diferença das derivadas primeiras nos limites. Precisamente,
porque
.
Analogamente,
porque
.
Portanto
Agora calculo cada integral de uma variável.
Para a primeira, uso a fórmula
Com
:
Com
:
Então a primeira parte vale
Para a segunda parte, uso:
Logo
E com
:
Assim a segunda parte vale
Somando as duas partes e agrupando termos semelhantes (coeficientes de
) obtemos
Fazendo as somas de frações:
Portanto o resultado final para (e) é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)