Calcule \iint_{R} f(x, y) d x d y, se:
(a) f(x, y)=x^{2} y^{3} e R=[0,1] \times[0,1]
(b) f(x, y)=(x+y)^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right) e R=[0,1] \times[0,1]
(c) f(x, y)=x^{2}+4 y e R=[0,2] \times[0,3]
(d) f(x, y)=\frac{x^{2}}{y^{2}+1} e R=[-1,1] \times[-1,1]
(e) f(x, y)=e^{x y}\left(x^{2}+y^{2}\right) e R=[-1,3] \times[-2,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular cinco integrais duplas do tipo
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy
cada uma com uma função f e um retângulo R dados. As cinco perguntas são:
(a) Calcular \iint_{R} x^{2}y^{3}\,dx\,dy com R = [0,1]\times[0,1].
(b) Calcular \iint_{R} (x+y)^{2}(x^{2}-y^{2})\,dx\,dy com R = [0,1]\times[0,1].
(c) Calcular \iint_{R} (x^{2}+4y)\,dx\,dy com R = [0,2]\times[0,3].
(d) Calcular \iint_{R} \dfrac{x^{2}}{y^{2}+1}\,dx\,dy com R = [-1,1]\times[-1,1].
(e) Calcular \iint_{R} e^{xy}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy com R = [-1,3]\times[-2,1].
Informações relevantes dadas: para cada caso temos a função f(x,y) definida no retângulo R explícito (produtos de intervalos). Não há mais informações externas — tudo que precisamos está acima.

Passo 2

Primeiro uma ideia geral (isso vale para todas as partes): quando R é um retângulo do tipo [a,b]\times[c,d] e f é contínua, podemos usar a fórmula de Fubini e transformar a integral dupla em uma integral iterada. Ou seja,
\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy.
Isso significa que podemos integrar primeiro em y (tratando x como constante) ou primeiro em x (tratando y como constante). Também usaremos linearidade da integral (podemos integrar termo a termo) e algumas fórmulas básicas de antiderivadas:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1},\qquad \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}\\ (a\neq 0),\qquad \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan x.
Vou aplicar isso passo a passo em cada item, escolhendo a ordem de integração que simplifica as contas.

Passo 3

Queremos
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dx\,dy\quad\text{com }R=[0,1]\times[0,1].
Como o integrando separa em produto de função só de x por função só de y, podemos escrever a integral dupla como produto de integrais simples:
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dx\,dy =\left(\int_{0}^{1} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y^{3}\,dy\right).
Calcule cada uma:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{1} y^{3}\,dy=\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Multiplicando:
\iint_{R} x^{2}y^{3}\,dx\,dy=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.

Passo 4

Queremos
\iint_{R} (x+y)^{2}(x^{2}-y^{2})\,dx\,dy\quad\text{com }R=[0,1]\times[0,1].
Primeiro simplifico o integrando expandindo:
(x+y)^{2}(x^{2}-y^{2})=(x^{2}+2xy+y^{2})(x^{2}-y^{2}).
Multiplicando e simplificando (observa que os termos x^{2}y^{2} se cancelam):
(x^{2}+2xy+y^{2})(x^{2}-y^{2})=x^{4}+2x^{3}y-2xy^{3}-y^{4}.
Agora integramos termo a termo sobre o quadrado unitário:
\iint_{R} \big(x^{4}+2x^{3}y-2xy^{3}-y^{4}\big)\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1} x^{4}+2x^{3}y-2xy^{3}-y^{4}\,dy\right)dx.
Calculo a integral interna em y:
\int_{0}^{1} x^{4}\,dy = x^{4},
\int_{0}^{1} 2x^{3}y\,dy = 2x^{3}\cdot\frac{1}{2}=x^{3},
\int_{0}^{1} -2x y^{3}\,dy = -2x\cdot\frac{1}{4}=-\frac{x}{2},
\int_{0}^{1} -y^{4}\,dy = -\frac{1}{5}.
Somando:
\int_{0}^{1}\big(x^{4}+x^{3}-\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{5}\big)\,dx.
Agora integro em x:
\int_{0}^{1} x^{4}\,dx=\frac{1}{5},\qquad \int_{0}^{1} x^{3}\,dx=\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} -\frac{x}{2}\,dx=-\frac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} -\frac{1}{5}\,dx=-\frac{1}{5}.
Somando tudo:
\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=0.
Logo a integral vale 0.

Passo 5

Queremos
\iint_{R} (x^{2}+4y)\,dx\,dy\quad\text{com }R=[0,2]\times[0,3].
Escolho integrar primeiro em y:
\int_{0}^{2}\left(\int_{0}^{3} (x^{2}+4y)\,dy\right)dx.
Interna em y:
\int_{0}^{3} x^{2}\,dy = 3x^{2},
\int_{0}^{3} 4y\,dy = 4\cdot\frac{9}{2}=18.
Portanto a integral interna é 3x^{2}+18.
Agora integro em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (3x^{2}+18)\,dx =3\int_{0}^{2} x^{2}\,dx + 18\int_{0}^{2} 1\,dx =3\cdot\frac{8}{3} + 18\cdot 2 = 8 + 36 = 44.
Então a integral vale 44.

Passo 6

Queremos
\iint_{R} \frac{x^{2}}{y^{2}+1}\,dx\,dy\quad\text{com }R=[-1,1]\times[-1,1].
Note que o integrando separa em x^{2} vezes \dfrac{1}{y^{2}+1}. Assim
\iint_{R} \frac{x^{2}}{y^{2}+1}\,dx\,dy =\left(\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx\right)\left(\int_{-1}^{1}\frac{1}{y^{2}+1}\,dy\right).
Calculo as duas integrais:
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
\int_{-1}^{1}\frac{1}{y^{2}+1}\,dy=\left[\arctan y\right]_{-1}^{1}=\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.
Multiplicando:
\iint_{R}\frac{x^{2}}{y^{2}+1}\,dx\,dy=\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}.

Passo 7

Queremos
I=\iint_{R} e^{xy}\big(x^{2}+y^{2}\big)\,dx\,dy\quad\text{com }R=[-1,3]\times[-2,1].
Aqui a integração direta termo a termo gera integrais de polinômio vezes exponencial, que podem ser feitas mas dão muitas etapas. Um truque elegante e muito útil: perceber que
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} e^{xy}=y^{2}e^{xy},\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} e^{xy}=x^{2}e^{xy}.
Somando:
x^{2}e^{xy}+y^{2}e^{xy}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} e^{xy}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} e^{xy}.
Ou seja, o integrando é o laplaciano de e^{xy}. Assim
I=\iint_{R} \Big(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} e^{xy}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} e^{xy}\Big)\,dx\,dy.
Agora aplicamos integrações por partes em bloco (ou, equivalentemente, usamos o teorema do cálculo para integrais de derivadas): integrar \partial^{2} e^{xy}/\partial x^{2} em x sob o intervalo [-1,3] resulta na diferença das derivadas primeiras nos limites. Precisamente,
\iint_{R} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} e^{xy}\,dx\,dy = \int_{y=-2}^{1}\Big[\frac{\partial}{\partial x} e^{xy}\Big]_{x=-1}^{x=3}\,dy = \int_{-2}^{1} \big(y e^{3y} - y e^{-y}\big)\,dy,
porque \partial e^{xy}/\partial x = y e^{xy}.
Analogamente,
\iint_{R} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} e^{xy}\,dx\,dy = \int_{x=-1}^{3}\Big[\frac{\partial}{\partial y} e^{xy}\Big]_{y=-2}^{y=1}\,dx = \int_{-1}^{3} \big(x e^{x} - x e^{-2x}\big)\,dx,
porque \partial e^{xy}/\partial y = x e^{xy}.
Portanto
I=\int_{-2}^{1} y\big(e^{3y}-e^{-y}\big)\,dy \;+\; \int_{-1}^{3} x\big(e^{x}-e^{-2x}\big)\,dx.
Agora calculo cada integral de uma variável.
Para a primeira, uso a fórmula
\int y e^{ay}\,dy = e^{ay}\left(\frac{y}{a}-\frac{1}{a^{2}}\right)\quad (a\neq 0).
Com a=3:
\int_{-2}^{1} y e^{3y}\,dy =\Big[e^{3y}\Big(\frac{y}{3}-\frac{1}{9}\Big)\Big]_{-2}^{1} =\frac{2}{9}e^{3}+\frac{7}{9}e^{-6}.
Com a=-1:
\int_{-2}^{1} y e^{-y}\,dy =\Big[e^{-y}\big(-y-1\big)\Big]_{-2}^{1} =-2e^{-1}-e^{2}.
Então a primeira parte vale
\int_{-2}^{1} y\big(e^{3y}-e^{-y}\big)\,dy =\frac{2}{9}e^{3}+\frac{7}{9}e^{-6}+2e^{-1}+e^{2}.
Para a segunda parte, uso:
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1),\qquad \int x e^{ax}\,dx = e^{ax}\Big(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^{2}}\Big)\\ (a\neq 0).
Logo
\int_{-1}^{3} x e^{x}\,dx = \Big[e^{x}(x-1)\Big]_{-1}^{3} = 2e^{3}+2e^{-1}.
E com a=-2:
\int_{-1}^{3} x e^{-2x}\,dx =\Big[e^{-2x}\Big(-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\Big)\Big]_{-1}^{3} = -\frac{7}{4}e^{-6}-\frac{1}{4}e^{2}.
Assim a segunda parte vale
\int_{-1}^{3} x\big(e^{x}-e^{-2x}\big)\,dx =2e^{3}+2e^{-1}+\frac{7}{4}e^{-6}+\frac{1}{4}e^{2}.
Somando as duas partes e agrupando termos semelhantes (coeficientes de e^{3},e^{2},e^{-1},e^{-6}) obtemos
I=\left(\frac{2}{9}+2\right)e^{3}+\left(1+\frac{1}{4}\right)e^{2}+\left(2+2\right)e^{-1}+\left(\frac{7}{9}+\frac{7}{4}\right)e^{-6}.
Fazendo as somas de frações:
\frac{2}{9}+2=\frac{20}{9},\qquad 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4},\qquad 2+2=4,
\frac{7}{9}+\frac{7}{4}=\frac{28+63}{36}=\frac{91}{36}.
Portanto o resultado final para (e) é
I=\frac{20}{9}e^{3}+\frac{5}{4}e^{2}+4e^{-1}+\frac{91}{36}e^{-6}.

Resposta

(a) \dfrac{1}{12}
(b) 0
(c) 44
(d) \dfrac{\pi}{3}
(e) \dfrac{20}{9}e^{3}+\dfrac{5}{4}e^{2}+4e^{-1}+\dfrac{91}{36}e^{-6}

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