Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e inferiormente pelo retângulo dado:
(a) z=\sqrt{9-y^{2}} \mathrm{e} R=[0,4] \times[0,2]
(b) z=x^{2}+y^{2} e R=[-2,2] \times[-3,3]
(c) z=y^{2}-x^{2} e R=[-1,1] \times[1,3]
(d) z=2 x+3 y+6 e R=[-1,2] \times[2,3]

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico de uma função z=f(x,y) e inferiormente pelo retângulo R no plano xy. São quatro itens distintos:
(a) z=\sqrt{9-y^{2}} e R=[0,4]\times[0,2].
(b) z=x^{2}+y^{2} e R=[-2,2]\times[-3,3].
(c) z=y^{2}-x^{2} e R=[-1,1]\times[1,3].
(d) z=2x+3y+6 e R=[-1,2]\times[2,3].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Item (a): } f(x,y)=\sqrt{9-y^{2}},\; x\in[0,4],\; y\in[0,2].\\\ &\text{Item (b): } f(x,y)=x^{2}+y^{2},\; x\in[-2,2],\; y\in[-3,3].\\\ &\text{Item \text{(c)}: } f(x,y)=y^{2}-x^{2},\; x\in[-1,1],\; y\in[1,3].\\\ &\text{Item (d): } f(x,y)=2x+3y+6,\; x\in[-1,2],\; y\in[2,3]. \end{aligned}

Passo 2

A ideia geral (ferramenta que vamos usar) — e por que ela vale aqui:
Quando um sólido é limitado superiormente pelo gráfico z=f(x,y) e inferiormente pelo retângulo R no plano xy (ou seja, pela região z=0 projetada sobre R), o volume desse sólido é dado pela integral dupla da função sobre R:
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um elemento de área no plano xy. Como todos os R do enunciado são retângulos com limites constantes, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (Fubini), por exemplo:
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{y=y_1}^{y_2}\left(\int_{x=x_1}^{x_2} f(x,y)\,dx\right)dy,
ou trocando a ordem. Vou usar a ordem dx\,dy (integrar primeiro em x, depois em y), porque os limites são constantes e frequentemente simplifica os cálculos. Também vale observar que todas as funções dadas são contínuas nos retângulos indicados, então podemos aplicar Fubini sem problemas.
Vou lembrar duas fórmulas básicas que usarei:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1),
\int \sqrt{a^{2}-y^{2}}\,dy \text{ (fórmula padrão ou usar }y=a\sin t\text{).}óã

Passo 3

Resolvendo (a).
Montamos a integral para o volume:
V_a=\iint_{R} \sqrt{9-y^{2}}\,dA=\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{4} \sqrt{9-y^{2}}\,dx\right)dy.
No integral interno a função não depende de x, então:
\int_{x=0}^{4} \sqrt{9-y^{2}}\,dx = 4\sqrt{9-y^{2}}.
Assim
V_a=4\int_{0}^{2} \sqrt{9-y^{2}}\,dy.
Agora calculamos \displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{9-y^{2}}\,dy. Duas maneiras: usar a primitiva conhecida ou a substituição trigonométrica y=3\sin t. Vou fazer a substituição porque ajuda a entender o método.
Tomando y=3\sin t\Rightarrow dy=3\cos t\,dt e \sqrt{9-y^{2}}=3\cos t. Quando y=0 temos t=0; quando y=2 temos t=\arcsin(2/3). Então
\int_{0}^{2} \sqrt{9-y^{2}}\,dy=\int_{0}^{\arcsin(2/3)} 3\cos t\cdot 3\cos t\,dt =\;9\int_{0}^{\arcsin(2/3)} \cos^{2}t\,dt.
Usamos \cos^{2}t=\tfrac{1+\cos 2t}{2}:
9\int_{0}^{\arcsin(2/3)} \cos^{2}t\,dt =9\int_{0}^{\arcsin(2/3)} \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt =\frac{9}{2}\Big[t+\tfrac{1}{2}\sin 2t\Big]_{0}^{\arcsin(2/3)}.
Avaliaremos \sin 2t usando \sin t=2/3 e \cos t=\sqrt{1-(2/3)^{2}}=\sqrt{5}/3, daí
\sin 2t=2\sin t\cos t=2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}}{9}.
Então
9\int_{0}^{\arcsin(2/3)} \cos^{2}t\,dt =\frac{9}{2}\Big(\arcsin(2/3)+\tfrac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{5}}{9}\Big) =\frac{9}{2}\arcsin(2/3)+\frac{9}{2}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{9} =\frac{9}{2}\arcsin(2/3)+\sqrt{5}.
Lembrando do fator 4 que ficou fora,
V_a=4\left(\frac{9}{2}\arcsin(2/3)+\sqrt{5}\right)=18\arcsin(2/3)+4\sqrt{5}.

Passo 4

Resolvendo (b).
Montamos a integral:
V_b=\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dA=\int_{y=-3}^{3}\left(\int_{x=-2}^{2} (x^{2}+y^{2})\,dx\right)dy.
Integramos em x primeiro. Separe os termos:
\int_{x=-2}^{2} (x^{2}+y^{2})\,dx=\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx+\int_{-2}^{2} y^{2}\,dx.
A segunda integral é simples porque y^{2} é constante em x:
\int_{-2}^{2} y^{2}\,dx = y^{2}\cdot(2-(-2))=4y^{2}.
A primeira,
\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2}=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Logo o integrando reduzido é \frac{16}{3}+4y^{2}. Agora integramos em y de -3 a 3:
V_b=\int_{-3}^{3}\left(\frac{16}{3}+4y^{2}\right)dy =\frac{16}{3}\cdot(6)+4\int_{-3}^{3} y^{2}\,dy.
Compute \int_{-3}^{3} y^{2}\,dy = 2\int_{0}^{3} y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{27}{3}=18. Portanto
V_b=\frac{16}{3}\cdot 6 + 4\cdot 18 =32 +72 =104.

Passo 5

Resolvendo (c).
Montamos a integral:
V_c=\iint_{R} (y^{2}-x^{2})\,dA=\int_{y=1}^{3}\left(\int_{x=-1}^{1} (y^{2}-x^{2})\,dx\right)dy.
Integramos em x:
\int_{x=-1}^{1} (y^{2}-x^{2})\,dx = \int_{-1}^{1} y^{2}\,dx - \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx.
A primeira é y^{2}\cdot(1-(-1))=2y^{2}. A segunda já calculamos similarmente:
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Logo o integrando reduzido é 2y^{2}-\tfrac{2}{3}. Agora integramos em y de 1 a 3:
V_c=\int_{1}^{3}\left(2y^{2}-\frac{2}{3}\right)dy =2\int_{1}^{3} y^{2}\,dy - \frac{2}{3}\cdot(3-1).
Calcule \int_{1}^{3} y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}\Big|_{1}^{3}=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}. Então
V_c=2\cdot\frac{26}{3}-\frac{2}{3}\cdot 2=\frac{52}{3}-\frac{4}{3}=\frac{48}{3}=16.

Passo 6

Resolvendo (d).
Montamos a integral:
V_d=\iint_{R} (2x+3y+6)\,dA=\int_{y=2}^{3}\left(\int_{x=-1}^{2} (2x+3y+6)\,dx\right)dy.
Integramos em x:
\int_{x=-1}^{2} 2x\,dx = x^{2}\Big|_{-1}^{2}=4-1=3,
\int_{x=-1}^{2} 3y\,dx = 3y\cdot(2-(-1))=3y\cdot 3=9y,
\int_{x=-1}^{2} 6\,dx = 6\cdot 3 =18.
Somando:
\int_{x=-1}^{2} (2x+3y+6)\,dx = 3+9y+18 = 9y+21.
Agora integramos em y de 2 a 3:
V_d=\int_{2}^{3} (9y+21)\,dy =9\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{2}^{3} + 21\cdot(3-2).
Calcule 9\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{2}^{3} = \frac{9}{2}(9-4)=\frac{9}{2}\cdot 5=\frac{45}{2}. E 21\cdot 1=21=\frac{42}{2}. Portanto
V_d=\frac{45}{2}+\frac{42}{2}=\frac{87}{2}.

Resposta

(a) 18\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\sqrt{5}
(b) 104
(c) 16
(d) \tfrac{87}{2}

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