Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e inferiormente pelo retângulo dado:
(a) z=\sqrt{9-y^{2}} \mathrm{e} R=[0,4] \times[0,2]
(b) z=x^{2}+y^{2} e R=[-2,2] \times[-3,3]
(c) z=y^{2}-x^{2} e R=[-1,1] \times[1,3]
(d) z=2 x+3 y+6 e R=[-1,2] \times[2,3]
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico de uma função z=f(x,y) e inferiormente pelo retângulo R no plano xy. São quatro itens distintos:
A ideia geral (ferramenta que vamos usar) — e por que ela vale aqui:
Quando um sólido é limitado superiormente pelo gráfico z=f(x,y) e inferiormente pelo retângulo R no plano xy (ou seja, pela região z=0 projetada sobre R), o volume desse sólido é dado pela integral dupla da função sobre R:
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um elemento de área no plano xy. Como todos os R do enunciado são retângulos com limites constantes, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (Fubini), por exemplo:
ou trocando a ordem. Vou usar a ordem dx\,dy (integrar primeiro em x, depois em y), porque os limites são constantes e frequentemente simplifica os cálculos. Também vale observar que todas as funções dadas são contínuas nos retângulos indicados, então podemos aplicar Fubini sem problemas.
Agora calculamos \displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{9-y^{2}}\,dy. Duas maneiras: usar a primitiva conhecida ou a substituição trigonométrica y=3\sin t. Vou fazer a substituição porque ajuda a entender o método.
Tomando y=3\sin t\Rightarrow dy=3\cos t\,dt e \sqrt{9-y^{2}}=3\cos t. Quando y=0 temos t=0; quando y=2 temos t=\arcsin(2/3). Então