Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:
\iint_{D} x y d x d y ; \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, x, y \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x y\, dx\, dy
sendo D a região limitada pela elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
e com x\ge 0,\; y\ge 0 (ou seja, o primeiro quadrante da elipse).
Informações relevantes: a região D é o quarto superior-direito da elipse; a integral a calcular é o momento do produto x y sobre essa região.

Passo 2

Idea prática: transformar a elipse numa circunferência para simplificar os limites. Vamos usar a substituição linear
x = a u,\qquad y = b v.
Expliquei: isso “normaliza” a elipse para a circunferência de raio 1 no sistema (u,v). Agora calculamos o Jacobiano dessa mudança de variáveis (ou seja, a relação entre dx\,dy e du\,dv).

Passo 3

Cálculo do Jacobiano. A transformação é linear e sua matriz é
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\[4pt] 0 & b \end{pmatrix}.
O Jacobiano (determinante) é
J = \det\begin{pmatrix} a & 0 \\[4pt] 0 & b \end{pmatrix} = a b.
Portanto
dx\,dy = |J|\, du\,dv = a b\, du\,dv.]

Passo 4

Transformação da região D. A elipse fica, em (u,v),
\frac{(a u)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b v)^{2}}{b^{2}}=u^{2}+v^{2}=1.
Como tomávamos x\ge0,\;y\ge0, temos u\ge0,\;v\ge0. Logo a nova região D_{uv} é o quarto superior-direito do disco unitário:
D_{uv}=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1,\; u\ge0,\; v\ge0\}.

Passo 5

Escrevemos a integral em (u,v). Substituindo x=a u, y=b v e dx\,dy=a b\, du\,dv, obtemos
\iint_{D} x y\, dx\, dy = \iint_{D_{uv}} (a u)(b v)\,(a b)\, du\,dv = a^{2} b^{2}\iint_{D_{uv}} u v\, du\,dv.
Ou seja, puxamos a constante a^{2}b^{2} para fora e precisamos calcular \iint_{D_{uv}} u v\, du\,dv sobre o quarto de disco unitário.

Passo 6

Para integrar sobre o disco é natural usar coordenadas polares no plano (u,v):
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante). O Jacobiano da passagem para polares é r, ou seja du\,dv = r\, dr\, d\theta. Substituindo na integral interna:
\iint_{D_{uv}} u v\, du\,dv = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} (r\cos\theta)(r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} r^{3}\cos\theta\sin\theta\, dr\, d\theta.

Passo 7

Calcule as integrais separadamente. Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\, dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\, d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\, d\theta = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\Big(-\tfrac{1}{2}\cos\pi + \tfrac{1}{2}\cos 0\Big) = \frac{1}{2}\Big(-\tfrac{1}{2}(-1)+\tfrac{1}{2}(1)\Big) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{2}.
(Juntando passos: \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\, d\theta=\tfrac{1}{2}.)
Multiplicando os resultados:
\iint_{D_{uv}} u v\, du\,dv = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}.
Lembrando o fator fora da integral, a integral original vale
a^{2} b^{2}\cdot \frac{1}{8}=\frac{a^{2} b^{2}}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{2} b^{2}}{8}

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