Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas: \iint_{D} x y d x d y ; \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, x, y \geq 0
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x y\, dx\, dy
sendo D a região limitada pela elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
e com x\ge 0,\; y\ge 0 (ou seja, o primeiro quadrante da elipse).
Informações relevantes: a região D é o quarto superior-direito da elipse; a integral a calcular é o momento do produto x y sobre essa região.
Passo 2
Idea prática: transformar a elipse numa circunferência para simplificar os limites. Vamos usar a substituição linear
x = a u,\qquad y = b v.
Expliquei: isso “normaliza” a elipse para a circunferência de raio 1 no sistema (u,v). Agora calculamos o Jacobiano dessa mudança de variáveis (ou seja, a relação entre dx\,dy e du\,dv).
Passo 3
Cálculo do Jacobiano. A transformação é linear e sua matriz é
Escrevemos a integral em (u,v). Substituindo x=a u, y=b v e dx\,dy=a b\, du\,dv, obtemos
\iint_{D} x y\, dx\, dy = \iint_{D_{uv}} (a u)(b v)\,(a b)\, du\,dv = a^{2} b^{2}\iint_{D_{uv}} u v\, du\,dv.
Ou seja, puxamos a constante a^{2}b^{2} para fora e precisamos calcular \iint_{D_{uv}} u v\, du\,dv sobre o quarto de disco unitário.
Passo 6
Para integrar sobre o disco é natural usar coordenadas polares no plano (u,v):
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com r\in[0,1] e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante). O Jacobiano da passagem para polares é r, ou seja du\,dv = r\, dr\, d\theta. Substituindo na integral interna: