Calcule as seguintes integrais sabendo que
é limitada pelas curvas dadas:
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do plano limitada pelas curvas
,
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região é limitada por
(eixo ), por (parábola) e pela reta vertical . - A função a integrar é
. - A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Primeiro vamos descrever
em termos de desigualdades para montar a integral iterada. As curvas
e
se interceptam quando
, ou seja em
. Como a reta vertical limita em
, para
temos
Para cada
fixo entre
e
, a coordenada
varia entre a curva inferior
e a curva superior
. Logo
Portanto podemos escrever
.
Passo 3
Com a descrição de
podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (integrando primeiro em
, depois em
):
Aqui tratamos
como constante na integração interna em
, porque nessa integral o diferencial é
.
Passo 4
Calculemos a integral interna em
:
Como
é constante em relação a
, podemos fatorá-lo para fora:
Sabemos que uma primitiva de
é
. Portanto
Como
, isso simplifica para
Logo a integral dupla reduz-se a
Passo 5
Para calcular
usamos a substituição clássica para integrais do tipo
. Definimos
Então
Quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral:
A primitiva de
é
. Então
Como
, obtemos
Passo 6
Interpretação rápida: o resultado é positivo porque
. Se quiser uma aproximação numérica rápida,
, então o valor aproxima-se de
. Mas a forma exata é mais bonita e suficiente para prova.