Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:
\iint_{D} x \cos (y) d x d y ; y=0, y=x^{2} e x=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\cos(y)\,dx\,dy
onde D é a região do plano limitada pelas curvas y=0, y=x^{2} e x=1.
Informações dadas:
  • A região é limitada por y=0 (eixo x), por y=x^{2} (parábola) e pela reta vertical x=1.
  • A função a integrar é f(x,y)=x\cos(y).
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Primeiro vamos descrever D em termos de desigualdades para montar a integral iterada. As curvas y=0 e y=x^{2} se interceptam quando x^{2}=0, ou seja em x=0. Como a reta vertical limita em x=1, para x temos
0\le x\le 1.
Para cada x fixo entre 0 e 1, a coordenada y varia entre a curva inferior y=0 e a curva superior y=x^{2}. Logo
0\le y\le x^{2}.
Portanto podemos escrever D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x^{2}\}.

Passo 3

Com a descrição de D podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada (integrando primeiro em y, depois em x):
\iint_{D} x\cos(y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x^{2}} x\cos(y)\,dy\right)dx.
Aqui tratamos x como constante na integração interna em y, porque nessa integral o diferencial é dy.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y:
\int_{y=0}^{x^{2}} x\cos(y)\,dy.
Como x é constante em relação a y, podemos fatorá-lo para fora:
x\int_{0}^{x^{2}} \cos(y)\,dy.
Sabemos que uma primitiva de \cos(y) é \sin(y). Portanto
x\int_{0}^{x^{2}} \cos(y)\,dy = x\big[\sin(y)\big]_{0}^{x^{2}} = x\big(\sin(x^{2})-\sin(0)\big).
Como \sin(0)=0, isso simplifica para
x\sin(x^{2}).
Logo a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{1} x\sin(x^{2})\,dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{1} x\sin(x^{2})\,dx usamos a substituição clássica para integrais do tipo x\cdot f(x^{2}). Definimos
u = x^{2}.
Então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1. Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} x\sin(x^{2})\,dx = \int_{u=0}^{1} \sin(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du.
A primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Então
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du = \frac{1}{2}\big[-\cos(u)\big]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\big(-\cos(1)+\cos(0)\big).
Como \cos(0)=1, obtemos
\frac{1}{2}\big(1-\cos(1)\big).

Passo 6

Interpretação rápida: o resultado é positivo porque \cos(1)<1. Se quiser uma aproximação numérica rápida, \cos(1)\approx 0,5403, então o valor aproxima-se de \tfrac{1}{2}(1-0,5403)\approx 0,22985. Mas a forma exata é mais bonita e suficiente para prova.

Resposta

\frac{1-\cos(1)}{2}

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