Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde foram dados:
-
. -
.
As perguntas são: montar a integral iterada correta que representa
e calcular esse valor numérico.
Passo 2
Primeiro temos que escrever a integral iterada conforme a descrição do conjunto
. O enunciado dá diretamente os limites em termos de
: para cada
com
temos
. Logo a integral dupla se escreve como integral iterada com
interno:
Agora o plano é calcular primeiro a integral interna em
, obter uma função de
, e depois integrar em
.
Passo 3
Vamos focar na integral interna
Aqui é conveniente fazer uma substituição. Observe que o denominador é
e o numerador é
. Se definirmos
então diferenciando obtemos
Essa é a clássica ideia: quando o numerador é proporcional à derivada do denominador, a substituição transforma a integral numa integral de
.
Passo 4
Aplicando a substituição
na integral interna, os limites em
mudam para
assim:
- quando
, ; - quando
, .
Portanto
A primitiva de
é
. Assim
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos que a integral interna é independente de
:
Passo 5
Agora substituímos esse resultado na integral externa. Temos uma constante em
, então
Pelo teorema de integrais, a integral de uma constante
em
é
vezes o comprimento do intervalo. Assim
Passo 6
Breve comentário didático final (para fixar): o truque chave aqui foi perceber que dentro da integral em
o numerador
é proporcional a
. Em geral, quando a integral tem a forma
, a primitiva é
. Um exemplo similar rápido:
. Esse padrão aparece muito em provas; reconhecer rapidamente a substituição economiza bastante tempo.