Calcule \iint_{B} f(x, y) d x d y :
f(x, y)=\frac{y}{x+y^{2}}, B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq \sqrt{x}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy
onde foram dados:
  • f(x,y)=\dfrac{y}{x+y^{2}}.
  • B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;1\le x\le 4,\;0\le y\le \sqrt{x}\}.
As perguntas são: montar a integral iterada correta que representa \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy e calcular esse valor numérico.

Passo 2

Primeiro temos que escrever a integral iterada conforme a descrição do conjunto B. O enunciado dá diretamente os limites em termos de x: para cada x com 1\le x\le 4 temos 0\le y\le \sqrt{x}. Logo a integral dupla se escreve como integral iterada com y interno:
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=1}^{4}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy\right)dx.
Agora o plano é calcular primeiro a integral interna em y, obter uma função de x, e depois integrar em x.

Passo 3

Vamos focar na integral interna
\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy.
Aqui é conveniente fazer uma substituição. Observe que o denominador é x+y^{2} e o numerador é y\,dy. Se definirmos
u = x+y^{2},
então diferenciando obtemos
du = 2y\,dy \quad\Rightarrow\quad y\,dy = \frac{1}{2}\,du.
Essa é a clássica ideia: quando o numerador é proporcional à derivada do denominador, a substituição transforma a integral numa integral de \dfrac{1}{u}.

Passo 4

Aplicando a substituição u=x+y^{2} na integral interna, os limites em y mudam para u assim:
  • quando y=0, u=x+0^{2}=x;
  • quando y=\sqrt{x}, u=x+(\sqrt{x})^{2}=x+x=2x.
Portanto
\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy = \int_{u=x}^{u=2x} \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{x}^{2x} \frac{1}{u}\,du.
A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Assim
\frac{1}{2}\int_{x}^{2x} \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\ln|u|\bigr]_{u=x}^{u=2x} = \frac{1}{2}\bigl(\ln(2x)-\ln(x)\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(2x)-\ln(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{2x}{x}\bigr)=\ln 2, obtemos que a integral interna é independente de x:
\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y}{x+y^{2}}\,dy = \frac{1}{2}\ln 2.

Passo 5

Agora substituímos esse resultado na integral externa. Temos uma constante em x, então
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=1}^{4} \left(\frac{1}{2}\ln 2\right)\,dx.
Pelo teorema de integrais, a integral de uma constante C em x é C vezes o comprimento do intervalo. Assim
\int_{1}^{4} \frac{1}{2}\ln 2\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \cdot (4-1) = \frac{3}{2}\ln 2.

Passo 6

Breve comentário didático final (para fixar): o truque chave aqui foi perceber que dentro da integral em y o numerador y é proporcional a d(x+y^{2})/dy. Em geral, quando a integral tem a forma \int \dfrac{u'(t)}{u(t)}\,dt, a primitiva é \ln|u(t)|. Um exemplo similar rápido: \int \dfrac{t}{a+t^{2}}\,dt = \tfrac{1}{2}\ln(a+t^{2})+C. Esse padrão aparece muito em provas; reconhecer rapidamente a substituição economiza bastante tempo.

Resposta

\dfrac{3}{2}\ln 2

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