Inverta a ordem de integração:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
- A variável externa é
com . - Para cada
fixo, a variável interna varia de até . - A função integranda é
(não especificada), logo a inversão deve preservar a ordem dos diferenciais e os limites ajustados ao mesmo domínio.
Passo 2
Descrever geometricamente a região de integração no plano
.
A integral dupla original integra
sobre a região
Isto significa: tomar todos os
entre
e
e, para cada
, tomar
entre
e
. Em palavras:
é a porção do primeiro quadrante limitada pelas linhas
,
, pela reta
e pela curva
.
Passo 3
Determinar a projeção de
no eixo vertical (ou seja, o intervalo possível para
).
Como
varia até
, o maior valor de
na região é
O menor valor de
é
. Portanto a projeção de
sobre o eixo
é o intervalo
Passo 4
Para um
fixo em
, encontrar quais valores de
pertencem a
.
A condição que define
é
com
. Para
fixo em
, a desigualdade
é equivalente (porque
é estritamente crescente em
) a
Além disso
deve satisfazer
. Portanto, para cada
os
admissíveis são
Uma observação didática rápida: usar a inversa da função tangente funciona porque em
a função
é monótona crescente e invertível; a inversa é a função
com imagem
. Assim
nesse intervalo.
Passo 5
Escrever a integral com a ordem invertida usando os limites encontrados.
Agora que sabemos que
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
, a integral com ordem invertida é