Inverta a ordem de integração:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\operatorname{tg} x} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\tan x} f(x,y)\,dy\right]dx.
Informações dadas:
  • A variável externa é x com \;0\le x\le \frac{\pi}{4}.
  • Para cada x fixo, a variável interna y varia de \;0 até \;\tan x.
  • A função integranda é f(x,y) (não especificada), logo a inversão deve preservar a ordem dos diferenciais e os limites ajustados ao mesmo domínio.

Passo 2

Descrever geometricamente a região de integração no plano (x,y).
A integral dupla original integra f(x,y) sobre a região
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{4},\;0\le y\le \tan x\}.
Isto significa: tomar todos os x entre 0 e \tfrac{\pi}{4} e, para cada x, tomar y entre 0 e \tan x. Em palavras: R é a porção do primeiro quadrante limitada pelas linhas x=0, x=\tfrac{\pi}{4}, pela reta y=0 e pela curva y=\tan x.

Passo 3

Determinar a projeção de R no eixo vertical (ou seja, o intervalo possível para y).
Como x varia até \tfrac{\pi}{4}, o maior valor de y na região é
\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1.
O menor valor de y é 0. Portanto a projeção de R sobre o eixo y é o intervalo
0\le y\le 1.

Passo 4

Para um y fixo em [0,1], encontrar quais valores de x pertencem a R.
A condição que define R é 0\le y\le \tan x com 0\le x\le \tfrac{\pi}{4}. Para y fixo em [0,1], a desigualdade y\le \tan x é equivalente (porque \tan x é estritamente crescente em [0,\tfrac{\pi}{2})) a
x \ge \arctan y.
Além disso x deve satisfazer x\le \tfrac{\pi}{4}. Portanto, para cada y\in[0,1] os x admissíveis são
\arctan y \le x \le \tfrac{\pi}{4}.
Uma observação didática rápida: usar a inversa da função tangente funciona porque em [0,\tfrac{\pi}{2}) a função \tan é monótona crescente e invertível; a inversa é a função \arctan com imagem [0,\tfrac{\pi}{2}). Assim \tan x\ge y \iff x\ge\arctan y nesse intervalo.

Passo 5

Escrever a integral com a ordem invertida usando os limites encontrados.
Agora que sabemos que y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de \arctan y até \tfrac{\pi}{4}, a integral com ordem invertida é
\int_{0}^{1}\left[\int_{\arctan y}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)\,dx\right]dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{\arctan y}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)\,dx\right]dy

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