Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde a função e a região são dadas por:
-
, -
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para cada ponto de
tem-se . - A desigualdade
determina a faixa de em função de . - A integral pedida é uma integral dupla sobre a região
, isto é, somar em todo o conjunto de pontos que satisfazem as condições acima.
Passo 2
Vamos descrever a região
em termos de limites para integrar. A condição
significa que, para um
fixo,
varia de
até
. Como também temos
, há ainda a restrição implícita de que
, ou seja:
Portanto podemos escrever a integral em ordem
com os seguintes limites:
Passo 3
Calcular a integral interna em
. Aqui
é tratado como constante quando integramos em
. Lembrando que a primitiva de
em
é
porque
. Assim:
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Para resolver integrandos do tipo
é conveniente fazer a substituição
. Definindo
logo
. Quando
temos
; quando
temos
. Aplicando a substituição:
Passo 5
Calcular a integral em
. A primitiva de
é
porque
. Então:
Usando
e
,