Calcule \iint_{B} f(x, y) d x d y :
f(x, y)=x \cos y, B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, x^{2} \leq y \leq \pi\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy onde a função e a região são dadas por:
  • f(x,y)=x\cos y,
  • B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\ge 0,\; x^{2}\le y \le \pi\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para cada ponto de B tem-se x\ge 0.
  • A desigualdade x^{2}\le y \le \pi determina a faixa de y em função de x.
  • A integral pedida é uma integral dupla sobre a região B, isto é, somar f(x,y) em todo o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem as condições acima.

Passo 2

Vamos descrever a região B em termos de limites para integrar. A condição x^{2}\le y \le \pi significa que, para um x fixo, y varia de y=x^{2} até y=\pi. Como também temos x\ge 0, há ainda a restrição implícita de que x^{2}\le \pi, ou seja:
0 \le x \le \sqrt{\pi}.
Portanto podemos escrever a integral em ordem dy\,dx com os seguintes limites:
\iint_{B} x\cos y\,dx\,dy = \int_{x=0}^{\sqrt{\pi}}\left(\int_{y=x^{2}}^{\pi} x\cos y\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Aqui x é tratado como constante quando integramos em y. Lembrando que a primitiva de \cos y em y é \sin y porque \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y. Assim:
\int_{y=x^{2}}^{\pi} x\cos y\,dy = x\left[\sin y\right]_{y=x^{2}}^{y=\pi} = x\big(\sin\pi-\sin(x^{2})\big).
Como \sin\pi=0, isso simplifica para
\int_{y=x^{2}}^{\pi} x\cos y\,dy = -\,x\sin(x^{2}).

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} -\,x\sin(x^{2})\,dx.
Para resolver integrandos do tipo x\sin(x^{2}) é conveniente fazer a substituição u=x^{2}. Definindo
u = x^{2}, \qquad du = 2x\,dx,
logo x\,dx = \dfrac{du}{2}. Quando x=0 temos u=0; quando x=\sqrt{\pi} temos u=\pi. Aplicando a substituição:
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} -\,x\sin(x^{2})\,dx = -\frac{1}{2}\int_{u=0}^{u=\pi}\sin u\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u. A primitiva de \sin u é -\cos u porque \dfrac{d}{du}(-\cos u)=\sin u. Então:
-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin u\,du = -\frac{1}{2}\left[-\cos u\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{2}\big(-\cos\pi + \cos 0\big).
Usando \cos\pi=-1 e \cos 0=1,
-\frac{1}{2}\big(-(-1) + 1\big) = -\frac{1}{2}(1+1) = -\frac{1}{2}\cdot 2 = -1.

Resposta

-1

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