Calcule \iint_{B} f(x, y) d x d y :
f(x, y)=x^{2}, B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \leq y \leq-x^{2}+2 x+2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=x^{2} e o conjunto B é dado por
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\; x\le y \le -x^{2}+2x+2\}.
As perguntas que preciso responder são:
  • Determinar os limites de integração que descrevem B.
  • Calcular a integral dupla de f sobre B.
Informações importantes fornecidas:
  • A fronteira inferior em y é a reta y=x.
  • A fronteira superior em y é a parábola y=-x^{2}+2x+2.
  • Há uma desigualdade x\le y\le -x^{2}+2x+2, então, para cada x válido, y varia entre essas duas curvas.

Passo 2

Encontrar para que valores de x a desigualdade faz sentido, ou seja, onde a reta fica abaixo (ou igual) da parábola. Isso exige resolver a equação de interseção
x = -x^{2}+2x+2.
Colocando tudo em um lado:
0 = -x^{2}+2x+2 - x = -x^{2}+x+2.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo de x^{2}:
0 = x^{2}-x-2.
Resolver a quadrática usando a fórmula ou fatorando. Fatorando:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Logo as raízes são x=-1 e x=2. Como a inequação original é x\le -x^{2}+2x+2, isto corresponde a
x^{2}-x-2\le 0,
que é satisfeita para x entre as raízes. Portanto o intervalo de x é
-1\le x \le 2.

Passo 3

Escolher a ordem de integração e escrever a integral. O enunciado já descreve B no formato "para cada x, y varia entre duas funções de x". Então usamos a ordem dy\,dx. A fórmula geral: se
B=\{(x,y): a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\},
então
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\right)\!dx.
Aqui a=-1, b=2, g_1(x)=x e g_2(x)=-x^{2}+2x+2. Assim
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy = \int_{x=-1}^{2}\left(\int_{y=x}^{-x^{2}+2x+2} x^{2}\,dy\right)\!dx.
Observação didática: como f(x,y)=x^{2} depende só de x, a integral interna em y vai apenas multiplicar x^{2} pelo comprimento vertical do segmento em y, isto é, por g_2(x)-g_1(x).

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Para x fixo,
\int_{y=x}^{-x^{2}+2x+2} x^{2}\,dy = x^{2}\Big[ y \Big]_{y=x}^{y=-x^{2}+2x+2} = x^{2}\big((-x^{2}+2x+2) - x\big).
Simplificando o parêntese:
(-x^{2}+2x+2) - x = -x^{2}+x+2.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em x:
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy = \int_{-1}^{2} x^{2}\big(-x^{2}+x+2\big)\,dx.
Multiplicando os polinômios:
x^{2}\big(-x^{2}+x+2\big) = -x^{4}+x^{3}+2x^{2}.

Passo 5

Integrar termo a termo. Usar a regra básica de potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando termo a termo:
\int\big(-x^{4}+x^{3}+2x^{2}\big)\,dx = -\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3} + C.
Definindo a primitiva
F(x) = -\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3},
temos
\iint_{B} x^{2}\,dx\,dy = \Big[ F(x)\Big]_{x=-1}^{x=2} = F(2)-F(-1).

Passo 6

Calcular F(2). Substituindo x=2:
F(2) = -\frac{2^{5}}{5}+\frac{2^{4}}{4}+\frac{2\cdot 2^{3}}{3} = -\frac{32}{5}+\frac{16}{4}+\frac{16}{3}.
Simplificar \frac{16}{4}=4. Para somar as frações, usar denominador comum 60:
-\frac{32}{5} = -\frac{384}{60},\quad 4 = \frac{240}{60},\quad \frac{16}{3}=\frac{320}{60}.
Somando:
F(2)=\frac{-384+240+320}{60}=\frac{176}{60}=\frac{44}{15}.

Passo 7

Calcular F(-1). Substituindo x=-1:
F(-1) = -\frac{(-1)^{5}}{5}+\frac{(-1)^{4}}{4}+\frac{2(-1)^{3}}{3} = -\frac{-1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{2}{3}.
Isso é
F(-1)=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{2}{3}.
Usando denominador comum 60:
\frac{1}{5}=\frac{12}{60},\quad \frac{1}{4}=\frac{15}{60},\quad \frac{2}{3}=\frac{40}{60}.
Logo
F(-1)=\frac{12+15-40}{60}=\frac{-13}{60}.

Passo 8

Calcular a diferença F(2)-F(-1):
F(2)-F(-1)=\frac{44}{15}-\left(-\frac{13}{60}\right)=\frac{44}{15}+\frac{13}{60}.
Colocando \frac{44}{15}=\frac{176}{60}, obtemos
\frac{176}{60}+\frac{13}{60}=\frac{189}{60}.
Simplificando dividindo por 3:
\frac{189}{60}=\frac{63}{20}.
Podemos também observar que \frac{63}{20}=3{,}15, mas a resposta em fração reduzida é preferível.

Resposta

\dfrac{63}{20}

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