Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
e o conjunto
é dado por
As perguntas que preciso responder são:
- Determinar os limites de integração que descrevem
. - Calcular a integral dupla de
sobre .
Informações importantes fornecidas:
- A fronteira inferior em
é a reta . - A fronteira superior em
é a parábola . - Há uma desigualdade
, então, para cada válido, varia entre essas duas curvas.
Passo 2
Encontrar para que valores de
a desigualdade faz sentido, ou seja, onde a reta fica abaixo (ou igual) da parábola. Isso exige resolver a equação de interseção
Colocando tudo em um lado:
Multiplicando por
para ficar com coeficiente positivo de
:
Resolver a quadrática usando a fórmula ou fatorando. Fatorando:
Logo as raízes são
e
. Como a inequação original é
, isto corresponde a
que é satisfeita para
entre as raízes. Portanto o intervalo de
é
Passo 3
Escolher a ordem de integração e escrever a integral. O enunciado já descreve
no formato "para cada
,
varia entre duas funções de
". Então usamos a ordem
. A fórmula geral: se
então
Aqui
,
,
e
. Assim
Observação didática: como
depende só de
, a integral interna em
vai apenas multiplicar
pelo comprimento vertical do segmento em
, isto é, por
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Para
fixo,
Simplificando o parêntese:
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em
:
Multiplicando os polinômios:
Passo 5
Integrar termo a termo. Usar a regra básica de potências: para
,
Aplicando termo a termo:
Definindo a primitiva
temos
Passo 6
Calcular
. Substituindo
:
Simplificar
. Para somar as frações, usar denominador comum
:
Somando:
Passo 7
Calcular
. Substituindo
:
Isso é
Usando denominador comum
:
Logo
Passo 8
Calcular a diferença
:
Colocando
, obtemos
Simplificando dividindo por
:
Podemos também observar que
, mas a resposta em fração reduzida é preferível.