Calcule \iint_{B}(2 x+1) d x d y, onde B é limitado por x=y^{2} e x-y=2

Passo 1

O que o enunciado pede: Calcular a integral dupla \iint_{B}(2x+1)\,dx\,dy, onde B é a região do plano limitada pelas curvas x=y^{2} e x-y=2.
Informações dadas:
  • A primeira curva é a parábola escrita como x=y^{2}.
  • A segunda curva é a reta escrita como x=y+2 (obtida de x-y=2).
  • A região B é a região limitada por essas duas curvas (a interseção delas determina os limites em y).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites em y.
Igualamos as expressões de x:
y^{2}=y+2.
Isso é uma equação quadrática. Subtraindo tudo para um lado:
y^{2}-y-2=0.
Fatorizando:
(y-2)(y+1)=0.
Logo os valores de y nas interseções são \,y=2 e \,y=-1.

Passo 3

Determinar, para um y entre -1 e 2, qual curva dá o menor valor de x (limite esquerdo) e qual dá o maior (limite direito).
Escolho um valor teste, por exemplo \,y=0. Então \,x_{\text{parábola}}=0^{2}=0á e \,x_{\text{reta}}=0+2=2. Como 0<2, a parábola x=y^{2} está à esquerda e a reta x=y+2 está à direita, para valores de y no intervalo encontrado. Portanto, o descritor do domínio é:
-1\le y\le 2,\qquad y^{2}\le x\le y+2.

Passo 4

Montar a integral iterada com a ordem dx\,dy usando os limites encontrados:
\iint_{B}(2x+1)\,dx\,dy=\int_{y=-1}^{2}\left(\int_{x=y^{2}}^{y+2}(2x+1)\,dx\right)dy.

Passo 5

Calcular a integral interna em x. Para isso uso que a primitiva de 2x+1 em relação a x é x^{2}+x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x\bigr)=2x+1.
Então
\int_{x=y^{2}}^{y+2}(2x+1)\,dx=\bigl[x^{2}+x\bigr]_{x=y^{2}}^{x=y+2}.
Agora avalio nos limites:
\bigl[(y+2)^{2}+(y+2)\bigr]-\bigl[(y^{2})^{2}+y^{2}\bigr].

Passo 6

Efetuo as simplificações algébricas do integrando resultante:
Calculo (y+2)^{2}+(y+2):
(y+2)^{2}+(y+2)=\bigl(y^{2}+4y+4\bigr)+(y+2)=y^{2}+5y+6.
Calculo (y^{2})^{2}+y^{2}=y^{4}+y^{2}.
Subtraindo:
\bigl(y^{2}+5y+6\bigr)-\bigl(y^{4}+y^{2}\bigr)=-y^{4}+5y+6.
Portanto a integral torna-se
\int_{-1}^{2}\!\bigl(-y^{4}+5y+6\bigr)\,dy.

Passo 7

Calcular a integral em y. Uso as regras básicas de integração termo a termo:
  • \displaystyle\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Constantes se integram multiplicando por y.
A primitiva de -y^{4}+5y+6 é
-\frac{1}{5}y^{5}+\frac{5}{2}y^{2}+6y,
pois
\frac{d}{dy}\left(-\frac{1}{5}y^{5}+\frac{5}{2}y^{2}+6y\right)=-y^{4}+5y+6.
Agora avalio entre y= -1 e y=2.
Para y=2:
-\frac{1}{5}(2)^{5}+\frac{5}{2}(2)^{2}+6\cdot 2 =-\frac{32}{5}+\frac{5}{2}\cdot 4+12 =-\frac{32}{5}+10+12 =-\frac{32}{5}+22 =\frac{110}{5}-\frac{32}{5}=\frac{78}{5}.
Para y=-1:
-\frac{1}{5}(-1)^{5}+\frac{5}{2}(-1)^{2}+6(-1) =-\frac{1}{5}(-1)+\frac{5}{2}\cdot 1-6 =\frac{1}{5}+\frac{5}{2}-6.
Colocando em décimos:
\frac{1}{5}+\frac{5}{2}-6=\frac{2}{10}+\frac{25}{10}-\frac{60}{10}=-\frac{33}{10}.
Agora subtraio:
\frac{78}{5}-\bigl(-\frac{33}{10}\bigr)=\frac{78}{5}+\frac{33}{10}=\frac{156}{10}+\frac{33}{10}=\frac{189}{10}.

Passo 8

Interpretação final rápida: o valor da integral dupla sobre a região B é \frac{189}{10}. Isso é um número positivo, o que faz sentido porque a função integranda 2x+1 é em grande parte positiva na região B (por exemplo x varia aproximadamente entre 0 e 4 aí).

Resposta

\displaystyle \frac{189}{10}

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