Calcule
, onde
é limitado por
e
Passo 1
O que o enunciado pede: Calcular a integral dupla
, onde
é a região do plano limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- A primeira curva é a parábola escrita como
. - A segunda curva é a reta escrita como
(obtida de ). - A região
é a região limitada por essas duas curvas (a interseção delas determina os limites em ).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para saber os limites em
.
Igualamos as expressões de
:
Isso é uma equação quadrática. Subtraindo tudo para um lado:
Fatorizando:
Logo os valores de
nas interseções são
e
.
Passo 3
Determinar, para um
entre
e
, qual curva dá o menor valor de
(limite esquerdo) e qual dá o maior (limite direito).
Escolho um valor teste, por exemplo
. Então
e
. Como
, a parábola
está à esquerda e a reta
está à direita, para valores de
no intervalo encontrado. Portanto, o descritor do domínio é:
Passo 4
Montar a integral iterada com a ordem
usando os limites encontrados:
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Para isso uso que a primitiva de
em relação a
é
, pois
Então
Agora avalio nos limites:
Passo 6
Efetuo as simplificações algébricas do integrando resultante:
Calculo
:
Calculo
.
Subtraindo:
Portanto a integral torna-se
Passo 7
Calcular a integral em
. Uso as regras básicas de integração termo a termo:
-
para . - Constantes se integram multiplicando por
.
A primitiva de
é
pois
Agora avalio entre
e
.
Para
:
Para
:
Colocando em décimos:
Agora subtraio:
Passo 8
Interpretação final rápida: o valor da integral dupla sobre a região
é
. Isso é um número positivo, o que faz sentido porque a função integranda
é em grande parte positiva na região
(por exemplo
varia aproximadamente entre
e
aí).