Calcule.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(2-x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(2-x-y)\,dy\,dx.
Informações dadas: a função integranda é (2-x-y) e a região de integração é o quadrado unitário definido por 0\le x\le1 e 0\le y\le1. A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Estratégia: usar a integral iterada (calcular a integral interna primeiro, depois a externa). Lembrete rápido das ferramentas que usaremos:
  • Linearidade da integral: \int (a+b)\,dy=\int a\,dy+\int b\,dy e \int c\cdot f(y)\,dy=c\int f(y)\,dy quando c é constante em relação a y.
  • Antiderivadas básicas: \int 1\,dy = y,\qquad \int y\,dy = \frac{y^2}{2}.
Aqui, ao integrar em y, tratamos x como constante.

Passo 3

Calculo da integral interna em y:
\int_{0}^{1}(2-x-y)\,dy = \int_{0}^{1}(2-x)\,dy - \int_{0}^{1}y\,dy.
Aplicando as antiderivadas:
\int_{0}^{1}(2-x)\,dy = (2-x)\,y\Big|_{0}^{1} = (2-x)\cdot 1 - (2-x)\cdot 0 = 2-x,
\int_{0}^{1}y\,dy = \frac{y^2}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2}-0=\frac{1}{2}.
Portanto
\int_{0}^{1}(2-x-y)\,dy = (2-x)-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}-x.

Passo 4

Agora integramos a função obtida em x:
\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{2}-x\right)\,dx.
Usamos antiderivadas em x:
\int \left(\frac{3}{2}-x\right)\,dx = \frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2}.

Passo 5

Avaliação da antiderivada entre 0 e 1:
\left(\frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1} = \left(\frac{3}{2}\cdot1 - \frac{1^2}{2}\right) - 0 = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.

Passo 6

Verificação rápida (trocar a ordem das integrais): integrar primeiro em x
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1}(2-x-y)\,dx\right]dy.
Inner:
\int_{0}^{1}(2-x-y)\,dx = \int_{0}^{1}(2-y)\,dx - \int_{0}^{1}x\,dx = (2-y)-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-y.
Outer:
\int_{0}^{1}\left(\frac{3}{2}-y\right)dy = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.
Confere com o resultado anterior.

Resposta

1

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