Calcule.
\int_{-2}^{2} \int_{-2}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-2}^{2}\int_{-2}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A região de integração é o quadrado com x variando de -2 até 2 e y variando de -2 até 2.
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
  • A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Primeira observação (linearidade): a integral de uma soma é a soma das integrais, então podemos escrever
\int_{-2}^{2}\int_{-2}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{-2}^{2}\int_{-2}^{2}x^{2}\,dx\,dy + \int_{-2}^{2}\int_{-2}^{2}y^{2}\,dx\,dy.
Isto facilita porque cada termo depende apenas de uma variável.

Passo 3

Cálculo do primeiro termo. Vamos avaliar a integral interna em x:
\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx.
Ensino rápido: a primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}. Portanto
\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{(-2)^{3}}{3} = \dfrac{8}{3}-\left(-\dfrac{8}{3}\right) = \dfrac{16}{3}.
Observação alternativa (simetria): x^{2} é função par, logo \int_{-2}^{2}x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{2}x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.

Passo 4

Agora integramos esse resultado em y. O primeiro termo era
\int_{-2}^{2}\left(\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx\right)dy = \int_{-2}^{2} \dfrac{16}{3}\,dy.
A integral de uma constante em y sobre [-2,2] é a constante vezes o comprimento do intervalo ( 4). Logo
\int_{-2}^{2} \dfrac{16}{3}\,dy = \dfrac{16}{3}\cdot 4 = \dfrac{64}{3}.

Passo 5

Cálculo do segundo termo. Primeiro integramos em x:
\int_{-2}^{2} y^{2}\,dx.
Aqui y^{2} é constante em relação a x, então a integral é y^{2} vezes a largura do intervalo em x, que é 4:
\int_{-2}^{2} y^{2}\,dx = 4y^{2}.

Passo 6

Agora integramos em y:
\int_{-2}^{2} 4y^{2}\,dy = 4\int_{-2}^{2} y^{2}\,dy.
Já calculamos \int_{-2}^{2} y^{2}\,dy ao fazer o cálculo com x; por simetria é igual a \dfrac{16}{3}. Assim
4\int_{-2}^{2} y^{2}\,dy = 4\cdot \dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{3}.

Passo 7

Somamos os dois termos obtidos:
\frac{64}{3}+\frac{64}{3}=\frac{128}{3}.
Comentário didático: escolhi esse método porque a integral separa bem em duas partes dependentes de variáveis diferentes e usar linearidade + simetria de funções pares torna as contas muito diretas e rápidas — ideal para prova sem calculadora.

Resposta

\dfrac{128}{3}

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