Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A região de integração é o quadrado com
variando de até e variando de até . - A função a integrar é
. - A tarefa é obter o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Primeira observação (linearidade): a integral de uma soma é a soma das integrais, então podemos escrever
Isto facilita porque cada termo depende apenas de uma variável.
Passo 3
Cálculo do primeiro termo. Vamos avaliar a integral interna em
:
Ensino rápido: a primitiva de
é
. Portanto
Observação alternativa (simetria):
é função par, logo
.
Passo 4
Agora integramos esse resultado em
. O primeiro termo era
A integral de uma constante em
sobre
é a constante vezes o comprimento do intervalo (
). Logo
Passo 5
Cálculo do segundo termo. Primeiro integramos em
:
Aqui
é constante em relação a
, então a integral é
vezes a largura do intervalo em
, que é
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Já calculamos
ao fazer o cálculo com
; por simetria é igual a
. Assim
Passo 7
Somamos os dois termos obtidos:
Comentário didático: escolhi esse método porque a integral separa bem em duas partes dependentes de variáveis diferentes e usar linearidade + simetria de funções pares torna as contas muito diretas e rápidas — ideal para prova sem calculadora.