Calcule
\iint_{Q} e^{x+y} d x d y, em que Q é o conjunto \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|x|+|y| \leq 1\right}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaQ e^x+y,dx,dy,
onde Q é o losango definido por lvert xrvert+lvert yrvert<=1.
Vamos usar integração iterada, escrevendo y em função de x e conhecendo bem a integral de uma exponencial.

Passo 2

Para cada xin[-1,1], a condição lvert xrvert+lvert yrvert<=1 equivale a
-(1-lvert xrvert);<=;y;<=;(1-lvert xrvert)
Logo
I = integralx=-1^1;integraly=-(1-lvert xrvert)^,1-lvert xrvert e^x+y,dy,dx

Passo 3

Fazendo primeiro a integral em y:
integraly=-(1-lvert xrvert)^,1-lvert xrvert e^x+y,dy = e^xintegral-(1-lvert xrvert)^,1-lvert xrvert e^y,dy = e^xl(e^1-lvert xrvert-e^-(1-lvert xrvert)r)
Assim
I = integral-1^1 l(e^,x+(1-lvert xrvert) ;-; e^,x-(1-lvert xrvert)r),dx

Passo 4

Como lvert xrvert muda em x=0, separamos em duas integrais:
I = integral-1^0!(dots),dx ;+;integral0^1!(dots),dx

Passo 5

Para 0<= x<=1 temos lvert xrvert=x, então o integrando fica
e^1+x-x-e^x-1+x ;=; e ;-; e^2x-1
Logo
integral0^1l(e - e^2x-1r),dx = ecdot1 ;-;integral0^1e^2x-1,dx = e ;-;e^1-e^-12 = e + e^-12

Passo 6

Para -1<= x<=0 temos lvert xrvert=-x, então o integrando fica
e^1+x+x-e^x-1-x ;=; e^1+2x ;-; e^-1
Logo
integral-1^0l(e^1+2x-e^-1r),dx = e^1-e^-12 ;-; e^-1 = e - 3e^-12

Passo 7

Somando as duas partes:
I = e - 3e^-12 ;+; e + e^-12 = e - e^-1

Resposta

integral duplaQ e^x+y,dx,dy = e - e^-1

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