Calcule
\iint_{Q} e^{x+y} d x d y, em que Q é o conjunto \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|x|+|y| \leq 1\right}.
\iint_{Q} e^{x+y} d x d y, em que Q é o conjunto \left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;|x|+|y| \leq 1\right}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o losango definido por
.
Vamos usar integração iterada, escrevendo em função de
e conhecendo bem a integral de uma exponencial.
Vamos usar integração iterada, escrevendo
Passo 2
Para cada
, a condição
equivale a
Logo
Passo 3
Fazendo primeiro a integral em
:
Assim
Passo 4
Como
muda em
, separamos em duas integrais:
Passo 5
Para
temos
, então o integrando fica
Logo
Passo 6
Para
temos
, então o integrando fica
Logo
Passo 7
Somando as duas partes: