Calcule
\iint_{Q} x^{2} y^{2} d x d y, em que Q é a região limitada do primeiro quadrante que fica entre x y=1 e x y=2 e as linhas y=x e y=4 x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas hipérboles e e pelas retas e .
O conteúdo principal é o de duplas integrais e mudança de variáveis usando jacobiano.
Passo 2
Vamos simplificar a descrição de e o integrando com a substituição
Essa escolha transforma as curvas em e as retas em .
Para usar essa mudança, precisamos expressar e em função de .
Como , temos , logo
Passo 3
Agora calculamos o jacobiano da transformação .
Escrevendo
suas derivadas são
O determinante é
Portanto
dx,dy = l|Jr|,du,dv = 12v,du,dv
Passo 4
Em termos de (u,v), a região Q fica simplesmente
1 <= u <= 2, 1 <= v <= 4
Além disso, o integrando x^2y^2=(xy)^2=u^2. Logo a integral torna-se
integral duplaQx^2y^2,dx,dy = integralv=1^4integralu=1^2u^2,12v,du,dv = 12integral1^41v,dv integral1^2u^2,du
Passo 5
Calculando separadamente:
integral1^2u^2,du =l[tfracu^33r]1^2 =8-13 =73,
integral1^41v,dv =ln(4)-ln(1) =ln 4
Assim
integral duplaQx^2y^2,dx,dy = 12cdot73cdotln 4 = 76,ln 4