Calcule
\iint_{Q} x^{2} y^{2} d x d y, em que Q é a região limitada do primeiro quadrante que fica entre x y=1 e x y=2 e as linhas y=x e y=4 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaQ x^2y^2,dx,dy
onde Q é a região do primeiro quadrante limitada pelas hipérboles xy=1 e xy=2 e pelas retas y=x e y=4x.
O conteúdo principal é o de duplas integrais e mudança de variáveis usando jacobiano.

Passo 2

Vamos simplificar a descrição de Q e o integrando com a substituição
u = x,y, v = yx
Essa escolha transforma as curvas xy=constante em u=constante e as retas y=kx em v=k.
Para usar essa mudança, precisamos expressar x e y em função de u,v.
Como y=vx, temos u=xcdot(vx)=v,x^2, logo
x = raizuv, y = v,x = raizu,v

Passo 3

Agora calculamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y).
Escrevendo
x(u,v)=u^tfrac12v^-tfrac12, y(u,v)=u^tfrac12v^tfrac12,
suas derivadas são
xu=x2u, xv=-x2v, yu=y2u, yv=y2v
O determinante é
J = xu & xv [6pt] yu & yv = x2ucdoty2v - l(-x2vr)cdoty2u = xy2uv = u2uv = 12v
Portanto
dx,dy = l|Jr|,du,dv = 12v,du,dv

Passo 4

Em termos de (u,v), a região Q fica simplesmente
1 <= u <= 2, 1 <= v <= 4
Além disso, o integrando x^2y^2=(xy)^2=u^2. Logo a integral torna-se
integral duplaQx^2y^2,dx,dy = integralv=1^4integralu=1^2u^2,12v,du,dv = 12integral1^41v,dv integral1^2u^2,du

Passo 5

Calculando separadamente:
integral1^2u^2,du =l[tfracu^33r]1^2 =8-13 =73,
integral1^41v,dv =ln(4)-ln(1) =ln 4
Assim
integral duplaQx^2y^2,dx,dy = 12cdot73cdotln 4 = 76,ln 4

Resposta

76ln 4

Exercícios relacionados