Encontre uma função f e um número real a tal que
2+integrala^x ln (f(t))t^3 d t=2 raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f e um ponto a tais que
2 + integrala^xlnl(f(t)r)t^3,dt ;=;2raizx
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema Fundamental do Cálculo (derivar a integral) para igualar ao lado direito, que depende de x.

Passo 2

Aplicamos a derivada em relação a x nos dois lados da igualdade. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
ddx!l[2 + integrala^xln(f(t))t^3,dtr] =lnl(f(x)r)x^3
Do outro lado,
ddxl[2raizxr] =2cdot12raizx =1raizx
Logo obtemos a equação
lnl(f(x)r)x^3 =1raizx

Passo 3

Isolando ln(f(x)):
lnl(f(x)r) = x^3,1raizx = x^3-tfrac12 = x^tfrac52
Portanto
f(x)=expl(x^5/2r)

Passo 4

Falta escolher a para que a constante de integração fique correta. Basta avaliar a condição em x=a:
2 + integrala^aln(f(t))t^3,dt =2 deve ser igual a 2raiza
Como o integral é zero, obtemos 2 = 2raiza, logo raiza=1 e daí
a=1

Resposta

A solução é
f(x)=expl(x^5/2r) e a=1

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