Exercício 22. (Apostol, capítulo 7.20, exercício 3) Seja t in R mapsto A(t) in Mn times n(R) uma função e E(t)=e^A(t). Assuma que E(t)^prime=A(t)^prime E(t). Prove que
Y^prime(t)=A(t)^prime Y(t)+Q(t), Y(a)=B
tem solução
Y(t)=e^A(t) e^-A(a) B+e^A(t) integrala^t e^-A(s) Q(s) d s

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial matricial de primeira ordem
Y'(t)=A'(t),Y(t)+Q(t), Y(a)=B,
onde A(t) é uma matriz de ordem n e assumimos que
E(t)=e^A(t)satisfaz E'(t)=A'(t),E(t)
O conteúdo aqui é o método do fator integrante para equações lineares em matrizes.

Passo 2

Definimos o fator integrante
Z(t)=e^-A(t),Y(t)
Calculamos a derivada de Z(t) usando a regra do produto e a hipótese sobre E(t). Como ddte^-A(t)=-e^-A(t)A'(t), temos
ddtZ(t) =ddtl(e^-A(t)r)Y(t)+e^-A(t)Y'(t) =-e^-A(t)A'(t)Y(t)+e^-A(t)l(A'(t)Y(t)+Q(t)r) =e^-A(t)Q(t)

Passo 3

Integramos de a até t:
Z(t)-Z(a)=integrala^te^-A(s),Q(s),ds
Mas Z(a)=e^-A(a)Y(a)=e^-A(a)B. Logo
Z(t)=e^-A(a)B+integrala^te^-A(s),Q(s),ds

Passo 4

Voltando à variável Y(t), multiplicamos por e^A(t):
Y(t)=e^A(t),Z(t) =e^A(t)e^-A(a)B +e^A(t)integrala^te^-A(s),Q(s),ds

Resposta

Y(t)=e^A(t),e^-A(a),B +e^A(t)integrala^te^-A(s),Q(s),ds

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