Calcule
onde
é a região do
quadrante limitada pelas circunferências
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O integrando é
. - A região
é a parte do primeiro quadrante limitada pelas circunferências e Ou seja, é o anel entre os raios e restrito ao primeiro quadrante. - A pergunta é calcular a integral dupla
Passo 2
Por que usar coordenadas polares e como elas funcionam (aula rápida e prática)?
- Em coordenadas polares fazemos a mudança
onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - A razão para usar polares aqui: o integrando depende só de
, que em polares é . Regiões circulares ficam com limites de e simples. - Ao mudar de variáveis, a área elementar transforma-se como
Esse fator extra é o jacobiano da transformação polar; ele representa o alongamento de área que a transformação produz (numa prova, basta lembrar que ).
Passo 3
Determinar os limites de integração em polares para a região
.
- Como
é o anel entre as circunferências e , em polares isso vira e . Logo varia de até . - Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo
varia de até . - Portanto os limites são
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas polares usando os limites encontrados.
- Substituindo
e , a integral fica
Passo 5
Calcular a integral interna em
(a integral radial) com substituição.
- Considere a integral interna
- Faça a substituição
. Então , ou seja . - Os limites em
correspondem a e . - Assim
- Integrando exponencial,
Passo 6
Integrar em
e combinar resultados.
- A integral total separa-se porque não há
no integrando após a integração em : - E
. - Multiplicando,
- Opcionalmente pode-se fatorar
: mas ambas as formas são equivalentes.