Calcule
\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A
onde D é a região do 1^{\circ} quadrante limitada pelas circunferências
x^{2}+y^{2}=1 \quad \text { e } \quad x^{2}+y^{2}=9 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O integrando é \displaystyle e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
  • A região D é a parte do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1e x^{2}+y^{2}=9.Ou seja, D é o anel entre os raios \,r=1 e \,r=3 restrito ao primeiro quadrante.
  • A pergunta é calcular a integral dupla \iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dA.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e como elas funcionam (aula rápida e prática)?
  • Em coordenadas polares fazemos a mudança x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde \,r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • A razão para usar polares aqui: o integrando depende só de x^{2}+y^{2}, que em polares é \,r^{2}. Regiões circulares ficam com limites de r e \theta simples.
  • Ao mudar de variáveis, a área elementar transforma-se como dA = r\,dr\,d\theta.Esse fator extra r é o jacobiano da transformação polar; ele representa o alongamento de área que a transformação produz (numa prova, basta lembrar que dA=r\,dr\,d\theta).

Passo 3

Determinar os limites de integração em polares para a região D.
  • Como D é o anel entre as circunferências \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=9, em polares isso vira \,r=1 e \,r=3. Logo r varia de \,1 até \,3.
  • Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo \theta varia de \,0 até \,\tfrac{\pi}{2}.
  • Portanto os limites são 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad 1\le r\le 3.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas polares usando os limites encontrados.
  • Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica \iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{3} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r (a integral radial) com substituição.
  • Considere a integral interna I_r=\int_{r=1}^{3} e^{-r^{2}}\,r\,dr.
  • Faça a substituição \,u=r^{2}. Então \,du=2r\,dr, ou seja \,r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Os limites em u correspondem a u(1)=1^{2}=1 e u(3)=3^{2}=9.
  • Assim I_r=\int_{u=1}^{9} e^{-u}\cdot\frac{1}{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{1}^{9} e^{-u}\,du.
  • Integrando exponencial, \frac{1}{2}\int_{1}^{9} e^{-u}\,du =\frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{1}^{9} =\frac{1}{2}\left(e^{-1}-e^{-9}\right).

Passo 6

Integrar em \theta e combinar resultados.
  • A integral total separa-se porque não há \theta no integrando após a integração em r: \int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{1}{2}\left(e^{-1}-e^{-9}\right)\right)d\theta =\frac{1}{2}\left(e^{-1}-e^{-9}\right)\int_{0}^{\pi/2}d\theta.
  • E \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}d\theta=\frac{\pi}{2}.
  • Multiplicando, \text{valor da integral}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(e^{-1}-e^{-9}\right) =\frac{\pi}{4}\left(e^{-1}-e^{-9}\right).
  • Opcionalmente pode-se fatorar e^{-1}: \frac{\pi}{4}e^{-1}\left(1-e^{-8}\right),mas ambas as formas são equivalentes.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\bigl(e^{-1}-e^{-9}\bigr)

Exercícios relacionados