Calcule e justifique.
\lim _{x \rightarrow-1}\left(-x^{2}-2 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular e justificar o valor do limite
\lim_{x\to-1}\left(-x^{2}-2x+1\right).
Informações fornecidas: a expressão dentro do limite é o polinômio -x^{2}-2x+1. A pergunta é apenas o valor desse limite e apresentar uma justificativa.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): polinômios são funções muito tranquilas — eles são contínuos em todo ponto. Na prática isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Por que isso é verdade, em linguagem simples? Porque:
  • A função constante x\mapsto c é contínua.
  • A função identidade x\mapsto x é contínua.
  • Somas, produtos e composições de funções contínuas são contínuas.
    Um polinômio é obtido a partir de constantes e de x usando apenas somas e produtos, logo é contínuo. Portanto podemos encontrar o limite simplesmente substituindo x=-1 na expressão.

Passo 3

Aplicando a ideia de substituição direta (justificada pela continuidade do polinômio), calculemos passo a passo:
\lim_{x\to-1}\left(-x^{2}-2x+1\right)= -(-1)^{2}-2(-1)+1.
Calcule cada termo:
(-1)^{2}=1,
-(-1)^{2}=-1,
-2(-1)=+2.
Somando os termos:
-1 + 2 + 1 = 2.

Passo 4

Forma alternativa (intuitiva) para reforçar a razão do resultado: escrever a expressão destacando (x+1). Observa-se que
-x^{2}-2x+1 = -\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)+2 = -(x+1)^{2}+2.
Como (x+1)^{2}\to 0 quando x\to -1, segue que
\lim_{x\to-1}\bigl(-(x+1)^{2}+2\bigr) = -0 + 2 = 2.
Isso confirma o resultado anterior por outro caminho.

Passo 5

Resumo amigável: como se trata de um polinômio, o limite é o valor da função no ponto x=-1; calculando com cuidado obtém-se 2. Força aí — essa é uma das poucas questões que normalmente dá pra resolver em segundos na prova!

Resposta

2

Exercícios relacionados