Use o teste da comparação para determinar se a série
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de termos positivos
e pede para determinar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
. - A tarefa é aplicar o teste da comparação (ou uma de suas variantes) para decidir convergência/divergência.
Passo 2
Explicando o teste que vou usar (de forma didática e passo a passo). Há duas versões úteis:
- Teste de comparação direto: se
para grande e converge, então converge; se e diverge, então diverge. - Teste da comparação por limite (limit comparison test): dado
e , se o limite existe e , então e têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Vou usar o teste da comparação por limite porque é simples de aplicar quando os termos têm comportamentos polinomiais: aqui
se comporta como uma potência de
para
grande, então é natural comparar com uma série da forma
(uma p-série). Lembrete: a p-série
converge se e somente se
.
Passo 3
Escolho como comparação a p-série com
, isto é, tomo
Agora escrevo explicitamente
e
:
Passo 4
Calculo o limite
. Primeiro escrevo a razão:
Para avaliar o limite, fatoro potências de
de forma a ver os termos que tendem a zero:
Portanto
Agora tomo o limite quando
. Como
e
, obtemos
Esse limite é positivo e finito (
), portanto o teste da comparação por limite pode ser aplicado:
e
têm o mesmo comportamento.
Passo 5
Como já lembrado, a p-série
converge porque
. Pelo resultado do passo anterior (limite
finito e positivo), conclui-se que a série original
também converge.
Observação final: todos os termos são positivos, então não há distinção entre convergência condicional e absoluta — a série converge (e, sendo positiva, é obviamente absolutamente convergente).
Resposta
A série converge.