Use o teste da comparação para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5+2 n}{\left(1+n^{2}\right)^{2}} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5+2n}{\left(1+n^{2}\right)^{2}}
e pede para determinar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_{n}=\dfrac{5+2n}{\left(1+n^{2}\right)^{2}}.
  • Todos os termos são positivos para n\ge 1.
  • A tarefa é aplicar o teste da comparação (ou uma de suas variantes) para decidir convergência/divergência.

Passo 2

Explicando o teste que vou usar (de forma didática e passo a passo). Há duas versões úteis:
  • Teste de comparação direto: se 0\le a_n\le b_n para n grande e \sum b_n converge, então \sum a_n converge; se a_n\ge b_n e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
  • Teste da comparação por limite (limit comparison test): dado a_n>0 e b_n>0, se o limite L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Vou usar o teste da comparação por limite porque é simples de aplicar quando os termos têm comportamentos polinomiais: aqui a_n se comporta como uma potência de n para n grande, então é natural comparar com uma série da forma 1/n^{p} (uma p-série). Lembrete: a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se e somente se p>1.

Passo 3

Escolho como comparação a p-série com p=3, isto é, tomo
b_n=\frac{1}{n^{3}}.
Agora escrevo explicitamente a_n e b_n:
a_n=\frac{5+2n}{\left(1+n^{2}\right)^{2}},\qquad b_n=\frac{1}{n^{3}}.

Passo 4

Calculo o limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}. Primeiro escrevo a razão:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{5+2n}{(1+n^{2})^{2}}}{\dfrac{1}{n^{3}}} = n^{3}\,\frac{5+2n}{(1+n^{2})^{2}}.
Para avaliar o limite, fatoro potências de n de forma a ver os termos que tendem a zero:
n^{3}\,(5+2n)=n^{4}\!\left(\frac{5}{n}+2\right), \qquad (1+n^{2})^{2}=n^{4}\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{2}.
Portanto
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{4}\!\left(\dfrac{5}{n}+2\right)}{n^{4}\!\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)^{2}} = \frac{\dfrac{5}{n}+2}{\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)^{2}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{5}{n}\to 0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{0+2}{(1+0)^{2}}=2.
Esse limite é positivo e finito ( 0<L<\infty), portanto o teste da comparação por limite pode ser aplicado: \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.

Passo 5

Como já lembrado, a p-série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{3}} converge porque p=3>1. Pelo resultado do passo anterior (limite L=2 finito e positivo), conclui-se que a série original \sum a_n também converge.
Observação final: todos os termos são positivos, então não há distinção entre convergência condicional e absoluta — a série converge (e, sendo positiva, é obviamente absolutamente convergente).

Resposta

A série converge.

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