Aqui usei a propriedade das séries que permite tirar um fator constante (em relação ao índice) para fora da soma.
Passo 3
Agora analisar a série numérica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}}.
Essa é uma série do tipo p-série, isto é, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}.
Sabe-se (teste do p-série) que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge exatamente quando p>1.
Aqui p=3>1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
converge (para um número finito; esse valor é conhecido como \zeta(3), mas o valor numérico não é necessário aqui).
Passo 4
Juntando Passo 2 e Passo 3: a série original é o produto de um fator que depende de x, (5x-4)^{2}, por uma série numérica convergente e finita, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}}. Logo, para qualquer x\in\mathbb{R} o fator (5x-4)^{2} é um número finito e multiplicá-lo por a soma finita dá um número finito. Portanto a série converge para todo x\in\mathbb{R}.
Além disso, a convergência é absoluta para todo x, porque
Como essa expressão é um polinômio (grau 2) em \bigl(x-\tfrac{4}{5}\bigr) multiplicado por uma constante finita, ao escrever como série de potências em \bigl(x-\tfrac{4}{5}\bigr) todos os coeficientes são zero, exceto o coeficiente do termo de grau 2. Para tal série de potências com coeficientes zero a partir de certo grau, o raio de convergência é infinito.
Passo 6
Conclusão: a série converge para todo x\in\mathbb{R}, logo o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.
Resposta
Raio de convergência: \infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)