Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(5 x-4)^{2}}{n^{3}}.

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(5x-4)^{2}}{n^{3}}.
As perguntas são:
  • Determinar o raio de convergência da série.
  • Determinar o intervalo de convergência da série (no conjunto dos números reais).
Informações relevantes dadas:
  • Cada termo da soma é \dfrac{(5x-4)^{2}}{n^{3}}.
  • A dependência em n aparece apenas em n^{3} no denominador; o fator (5x-4)^{2} não depende de n.

Passo 2

Primeira observação técnica (fácil e muito útil): como (5x-4)^{2} é independente de n, ele pode ser fatorado para fora da soma. Ou seja,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(5x-4)^{2}}{n^{3}} = (5x-4)^{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}.
Aqui usei a propriedade das séries que permite tirar um fator constante (em relação ao índice) para fora da soma.

Passo 3

Agora analisar a série numérica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}}.
  • Essa é uma série do tipo p-série, isto é, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}.
  • Sabe-se (teste do p-série) que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge exatamente quando p>1.
  • Aqui p=3>1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}
converge (para um número finito; esse valor é conhecido como \zeta(3), mas o valor numérico não é necessário aqui).

Passo 4

Juntando Passo 2 e Passo 3: a série original é o produto de um fator que depende de x, (5x-4)^{2}, por uma série numérica convergente e finita, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}}. Logo, para qualquer x\in\mathbb{R} o fator (5x-4)^{2} é um número finito e multiplicá-lo por a soma finita dá um número finito. Portanto a série converge para todo x\in\mathbb{R}.
Além disso, a convergência é absoluta para todo x, porque
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(5x-4)^{2}}{n^{3}}\right| = (5x-4)^{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}<\infty.

Passo 5

Interpretação como série em torno de x_{0}=\tfrac{4}{5} (opcional, para ver o raio diretamente como conceito de série de potências):
  • Observe que 5x-4=5\bigl(x-\tfrac{4}{5}\bigr). Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(5x-4)^{2}}{n^{3}} =25\left(x-\tfrac{4}{5}\right)^{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}.
  • Como essa expressão é um polinômio (grau 2) em \bigl(x-\tfrac{4}{5}\bigr) multiplicado por uma constante finita, ao escrever como série de potências em \bigl(x-\tfrac{4}{5}\bigr) todos os coeficientes são zero, exceto o coeficiente do termo de grau 2. Para tal série de potências com coeficientes zero a partir de certo grau, o raio de convergência é infinito.

Passo 6

Conclusão: a série converge para todo x\in\mathbb{R}, logo o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

Raio de convergência: \infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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