Calcule:
\iint_{D}\left(x y+y^{2}\right) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(xy+y^{2}\bigr)\,dA
no domínio triangular
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le x\}.
O conteúdo aqui é integrar em iterada aplicando o Teorema de Fubini, escolhendo integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Descrita a região por 0\le x\le1 e 0\le y\le x, escrevemos a integral iterada:
\iint_{D}(xy+y^{2})\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl[\int_{y=0}^{x}\bigl(xy+y^{2}\bigr)\,dy\Bigr]dx.

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
\int_{0}^{x}(xy+y^{2})\,dy = x\int_{0}^{x}y\,dy + \int_{0}^{x}y^{2}\,dy = x\bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{x} + \bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{0}^{x} = x\cdot\tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{3}}{3} = \tfrac{x^{3}}{2} + \tfrac{x^{3}}{3} = \tfrac{5x^{3}}{6}.

Passo 4

Substituindo na integral em x:
\int_{0}^{1}\tfrac{5x^{3}}{6}\,dx = \tfrac{5}{6}\int_{0}^{1}x^{3}\,dx = \tfrac{5}{6}\bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{5}{6}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{24}

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