Calcule:
\iint_{D}\left(x^{2}+3 y\right) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 4\}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla de f(x,y)=x^2+3y sobre o retângulo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le4\}.
Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada.

Passo 2

Montamos a integral iterada escolhendo a ordem \mathrm d y\,\mathrm d x:
\iint_{D}(x^2+3y)\,\mathrm dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{4}(x^2+3y)\,\mathrm d y\,\mathrm d x.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y. Para x fixo,
\int_{0}^{4}(x^2+3y)\,\mathrm d y =\bigl[x^2y+\tfrac{3}{2}y^2\bigr]_{0}^{4} =4x^2+\tfrac{3}{2}\cdot16 =4x^2+24.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}(4x^2+24)\,\mathrm d x =4\int_{0}^{1}x^2\,\mathrm d x+24\int_{0}^{1}\mathrm d x =4\cdot\tfrac{1}{3}+24\cdot1 =\tfrac{4}{3}+24 =\tfrac{76}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{76}{3}.

Exercícios relacionados