Calcule:
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral duplo
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA,
onde
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
O conteúdo aqui é integral dupla sobre retângulo e vamos usar a linearidade da integral.

Passo 2

Pela propriedade de aditividade das integrais,
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \iint_{D}x^{2}\,dA + \iint_{D}y^{2}\,dA.

Passo 3

Calcular \iint_{D}x^{2}\,dA. Fazendo integral iterada,
\iint_{D}x^{2}\,dA = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}x^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\Bigl[\int_{0}^{1}dy\Bigr]dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular \iint_{D}y^{2}\,dA. De modo análogo,
\iint_{D}y^{2}\,dA = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}y^{2}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\!y^{2}\Bigl[\int_{0}^{1}dx\Bigr]dy = \int_{0}^{1}y^{2}\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Somando os dois resultados,
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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