Calcule:
\iint_{D}(4 x-y) d A, \quad D=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq 3\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(4x - y)\,dA,
onde D é o retângulo dado por 0 \le y \le 2 e 0 \le x \le 3.
Vamos usar integração iterada: primeiro em y, depois em x.

Passo 2

Escrevendo a integral como iterada,
\iint_{D}(4x - y)\,dA = \int_{0}^{3}\!\Bigl(\int_{0}^{2}(4x - y)\,dy\Bigr)\,dx.
No interior, integramos em y:
\int_{0}^{2}(4x - y)\,dy = \Bigl[4x\,y - \tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} = 4x\cdot2 - \frac{2^{2}}{2} = 8x - 2.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{3}(8x - 2)\,dx = \Bigl[4x^{2} - 2x\Bigr]_{0}^{3} = (4\cdot9 - 2\cdot3) - 0 = 36 - 6 = 30.

Resposta

30

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