Calcule o volume do sólido limitado por z=1+x^{2}+y^{2}<z=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado abaixo pela parábola de revolução z = 1 + x^2 + y^2 e acima pelo plano z = 4. Vamos usar integração dupla no plano xy, aplicando a ideia de “volume sob uma superfície”

Passo 2

Para descrever a projeção desse sólido no plano xy, notamos que o sólido existe apenas enquanto
1 + x^2 + y^2 \le 4
ou seja
x^2 + y^2 \le 3.
Portanto, a região de integração no plano xy é o disco de raio \sqrt{3}.

Passo 3

O volume V pode ser escrito como
V = \iint_{D} \bigl(z_{\text{top}} - z_{\text{bot}}\bigr)\,dA = \iint_{x^2+y^2\le3} \bigl(4 - (1 + x^2 + y^2)\bigr)\,dx\,dy = \iint_{x^2+y^2\le3} (3 - x^2 - y^2)\,dx\,dy.

Passo 4

Vamos passar a coordenadas polares \,(x,y) = (r\cos\theta,\,r\sin\theta), onde r\in[0,\sqrt{3}] e \theta\in[0,2\pi]. O elemento de área vira dA = r\,dr\,d\theta. Assim,
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{3}} \bigl(3 - r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro calcule a integral interna em r:
\int_{0}^{\sqrt{3}} (3r - r^3)\,dr = \left[\tfrac{3r^2}{2} - \tfrac{r^4}{4}\right]_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{3\cdot3}{2} - \frac{(\sqrt{3})^4}{4} = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4}.
Em seguida, integrar em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{9}{4}\,d\theta = \frac{9}{4}\cdot 2\pi = \frac{9\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{9\pi}{2}.

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