Calcule a massa do sólido limitado por x^{2}+y^{2}=1, z=0, z=\sqrt{4 x^{2}+4 y^{2}} com densidade x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=0 e z=\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}, com densidade \delta(x,y,z)=x^{2}. Para resolver, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas, onde a região se descreve de modo mais simples.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com Jacobiano dV = r\,dr\,d\theta\,dz. A densidade fica
\delta = x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta
e, pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1, temos 0\le r\le1. O teto em z é
z = \sqrt{4(x^{2}+y^{2})} = 2r,
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0 \le z \le 2r,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
O integrando na massa é
\delta\,dV = \bigl(r^{2}\cos^{2}\theta\bigr)\,(r\,dr\,d\theta\,dz) = r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{2r} r^{3}\cos^{2}\theta\,dz = r^{3}\cos^{2}\theta\;\bigl[z\bigr]_{0}^{2r} = 2r^{4}\cos^{2}\theta.

Passo 4

A integral tripla reduz-se a
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}2\,r^{4}\cos^{2}\theta\;dr\,d\theta =2\Bigl(\int_{r=0}^{1}r^{4}\,dr\Bigr)\Bigl(\int_{\theta=0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\Bigr).
Calculamos cada parte:
\int_{0}^{1}r^{4}\,dr = \frac{1}{5}, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.

Passo 5

Substituindo, a massa é
2 \times \frac{1}{5} \times \pi = \frac{2\pi}{5}.

Resposta

A massa do sólido é \displaystyle \frac{2\pi}{5}.

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